Promenades dans le monde non archimédien (X-UPS 2023)

Comité Éditorial : Pascale Harinck, Alain Plagne, Claude Sabbah 
Auteurs : Serge Cantat, Antoine Chambert-Loir 

Edition : 2024
Pages : 158
Format : 17x24
ISBN : 978-2-7302-1722-4

Tarif : 20.00 €

Passer commande

    Les textes réunis dans ce volume nous font voyager dans le monde non archimédien et nous font découvrir son étrangeté, ses paysages arborescents, et son efficacité pour la résolution de questions posées dans le cadre archimédien.

Antoine Chambert-Loir explique la construction des nombres p-adiques inventés par Kurt Hensel à la fin du XIXe siècle. Ceux-ci sont devenus un outil indispensable de l’arithmétique contemporaine et un sujet d’étude en soi. Ils s’insèrent dans un cadre plus vaste, entre analyse et arithmétique, où deux constructions portant le nom d’Isaac Newton jouent un rôle central : la méthode de Newton et la notion de polygone de Newton.

Du point de vue arithmétique, l’ensemble des nombres p-adiques apparaît aussi naturel que celui des nombres réels ou complexes, mais leurs profondes différences topologiques s’opposent au développement d’une géométrie p-adique suivant les pas de la géométrie classique. Jérôme Poineau introduit la construction de Vladimir Berkovich (fin des années 1980) qui permet, dans une large mesure, de rétablir le parallélisme espéré entre routes archimédienne et non archimédienne.

Serge Cantat nous convie à un thème en plein essor, la dynamique arithmétique. Il nous explique un résultat qui concerne certaines suites de nombres rationnels ou complexes, définies par des relations de récurrence linéaires ou polynomiales. De manière surprenante, les seules démonstrations connues de ce résultat utilisent toutes quelques rudiments d’analyse p-adique.