École polytechnique  – Centre de Mathématiques Laurent Schwartz

11h: Vincent Maillot (Sorbonne Université)

Un peu d'algèbre linéaire et quadratique en géométrie d'Arakelov.

Il y a quelques années, j'avais proposé avec D. Rossler une série d'énoncés (toujours conjecturaux a ce jour dans les cas non-abélien) prédisant en particulier les valeurs de certaines classes de Chern arithmétique sur les variétés de Shimura PEL. Dans notre esprit ces identités devaient être universelles, mais des résultats récents dus à Freixas-Sankaran et Yuan ont semblé remettre en cause cet espoir. Nous verrons qu'il n'en est rien, fort heureusement.

14h: Margherita Pagano (Université de Leiden)

The role of primes of good reduction in the Brauer-Manin obstruction to weak approximation.

A way to study rational points on a variety is by looking at their image in the p-adic points. Some natural questions that arise are the following: is there any obstruction to weak approximation on the variety? Which primes might be involved in it? I will explain how primes of good reduction can play a role in the Brauer-Manin obstruction to weak approximation, with particular emphasis on the case of K3 surfaces. I will then explain how the reduction type (in particular, ordinary or non-ordinary good reduction) plays a role.

15h30: Boris Kunyavskii (Bar-Ilan University)

Violation des principes locaux-globaux pour la rationalité et pour la linéarisabilité.

Dans la première partie, basée sur la prépublication arXiv:2305.03481, nous montrons que même dans une classe de variétés où l'obstruction de Brauer au principe local-global pour l'existence d'un point rationnel (principe de Hasse) est la seule obstruction, elle peut être insuffisant, même sous une forme plus forte et invariante par changement de base, pour expliquer des contre-exemples au principe local-global pour la rationalité. Nous donnons des exemples de variétés toriques et de surfaces rationnelles sur un corps global arbitraire k chacune desquelles, en absence de l'obstruction de Brauer, est rationnelle partout localement mais n'est pas k-rationnelle.

Dans la deuxième partie, basée sur le travail en progrès (en collaboration avec Jean-Louis Colliot-Thélène), pour tout corps global k et tout n ≥ 3 nous donnons un exemple d'involution birationnelle de P^n_k ( = un élément g d'ordre 2 dans le groupe de Cremona Cr(n,k)) telle que

• g n'est pas linéarisable ;

• g est linéarisable dans tout Cr(n,k_v).