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Séminaire Variétés rationnelles

École polytechnique  – Centre de Mathématiques Laurent Schwartz

 

11h: Erhard Neher (University of Ottawa)

"Springer's Odd Degree Extension Theorem and Scharlau's Norm Principle revisited"

 

Springer's odd degree extension theorem says that if q is a quadratic form over a field, which becomes isotropic after an odd degree field extension, then q is already isotropic. I will describe a version of this theorem for nonsingular quadratic forms over semilocal rings and odd degree extensions that are etale or generated by one element. I will also discuss Scharlau's norm principle in this setting. The talk is based on joint work with Philippe Gille.

 

 

14h: Claudio Bravo (Ecole polytechnique)

"Présentations de quelques groupes arithmétiques"

 

(Travail en collaboration avec Benoit Loisel). Considérons une courbe projective lisse C définie sur un corps F et un point fermé P dans C. Dans cet exposé, on va se pencher sur l'arithmétique d'un schéma en groupes déployé G défini sur l'anneau A des fonctions rationnelles sur C régulières en dehors de P. On présentera notamment une méthode permettant d'obtenir des présentations du groupe de A-points G(A) à l'aide de son action sur certains immeubles de Bruhat-Tits. Etant donné un sous-groupe d'indice fini H de G(A), on verra que cette même méthode permet aussi de dénombrer les classes de H-conjugaison de sous-groupes unipotents maximaux contenus dans H, ainsi qu'une description de ces sous-groupes unipotents maximaux. Si le temps le permet, on donnera une description de quelques groupes de (co)homologie de G(A) obtenus à partir de leurs présentations.

 

 

 

15h30: Nicolas Perrin (Ecole polytechnique)

"Courbes rationnelles minimales sur les variétés symétriques complètes"

 

(travail en cours, en collaboration avec Michel Brion et Shinyoung Kim). Dans cet exposé, j’expliquerai comment utiliser les invariants combinatoires associés aux espaces symétriques, en particulier leurs systèmes de racines restreints, afin de décrire les familles des courbes rationnelles minimales tracées sur les variétés symétriques complètes.