Résumé : Résumé: Cet exposé comportera deux parties.
Dans une première heure nous introduirons quelques outils et résultats récents de quatre thèmes: les propriétés de base des rangs des tenseurs, les restrictions des polynômes au cube Booléen, les tailles de sommes d’ensembles en haute dimension, et les théorèmes d’existence de motifs à densité.

Dans une deuxième heure nous décrirons comment une conjecture centrale en théorie de Ramsey généralisant le théorème de Szemerédi confère une motivation extérieure supplémentaire à une chaîne de résultats impliquant ces thèmes, dans laquelle chaque résultat utilise le précedént comme une boîte noire: l’existence de sous-tenseurs de haut rang et satisfaisant certaines conditions simples à partir de tenseurs de haut rang, une extension au cas de restrictions Booléennes du théorème de Green et Tao (2007) au sujet de l’équidistribution des polynômes de haut rang, et une approximation de complexité bornée d'ensembles définis à partir de conditions polynomiales.

De nombreuses questions de géométrie énumérative se réduisent au calcul des nombres d'intersections de classes de cohomologie naturelles sur l'espace $\overline{M}_{g,n}$ des modules de courbes complexes stables. Comme exemples saillants, citons les volumes de Weil-Petersson et leur super-analogue; les volumes de Masur-Veech des modules de différentielles quadratiques; les nombres de Hurwitz de revêtements ramifiés de la sphère de Riemann. La théorie de la récurrence topologique fournit des résultats assez généraux pour calculer, par induction sur la caractéristique d'Euler, de tels nombres d'intersections. Je souhaite exposer les grandes lignes de ce formalisme qui se construit à partir de la géométrie complexe d'un revêtement de courbes complexes auxiliaire (la courbe spectrale), et les résultats de correspondence avec la théorie de l'intersection dans $\overline{M}_{g,n}$. Leur origine marie résultats géométriques “difficiles” et combinatoire “facile” des strates de bords de $\overline{M}_{g,n}$. Cette correspondance engendre de nouveaux résultats énumératifs par des méthodes analytiques, en étudiant le comportement de la récurrence topologique pour des familles de courbes spectrales. Si le temps le permet, j'évoquerai la question subtile du comportement de la récurrence topologique pour des familles non “équi-singulières” de courbes spectrales et son intérêt du point de vue de la géométrie de $\overline{M}_{g,n}$.