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Modélisation mathématique en neurosciences

Eva Löcherbach

1. Séance 1 : Introduction : le système nerveux, neuro-physiologie d’un seul neurone. Modèles déterministes d’un seul neurone. Les modèles de Hodgkin-Huxley, FitzHugh-Nagumo, modèles intègre et tire.

2. Séance 2 : Modèles déterministes, suite : Un peu de théorie des systèmes dynamiques. Points stationnaires, cycles limites et théorie des bifurcations. Systèmes

dynamiques lents-rapides. Modèles avec bruit gaussien (diffusion), Excursion : Modèle de Hodgkin-Huxley stochastique.

3. Séance 3 : Trains de décharge, processus ponctuels. Processus de Poisson homogène et inhomogène, mesures de Poisson et méthode de "thinning".

4. Séances 4 et 5 : Processus de Hawkes linéaire, représentation par clusters, existence et non-explosion, loi des grands nombres, comportement en temps long.

5. Séances 5 et 6 : Processus de Hawkes non-linéaires, liens avec PDMP. Un peu de théorie des processus de Markov, comportement en temps long.

6. Séance 7 : Modèles en temps discret, estimation du graphe d'interaction.

 

Références

[1] Brémaud, P., Massoulie, L. Stability of nonlinear Hawkes processes. The Annals of Probability, 24(3) (1996) 1563-1588.

[2] Gerstner, W., Kistler, W.M., Naud, R., Paninski, L. Neuronal dynamics: from single neurons to networks and models of cognition. Cambridge University Press, 2014.

[3] Izhikevich, E. Dynamical systems in neuroscience: the geometry of excitability and bursting MIT Press, 2006.