En poursuivant votre navigation, vous acceptez l'utilisation de cookies destinés à améliorer la performance de ce site et à vous proposer des services et contenus personnalisés.

X

MAT321

Analyse réelle et introduction aux méthodes variationnelles - MAT 321
FRANK PACARD

Ce cours constitue une initiation à l'analyse mathématique réelle et complexe, dont il présente trois grandes thématiques :

- la théorie de la mesure et de l'intégration au sens de Lebesgue ;
- l'analyse de Fourier ;
- la théorie des espaces de Hilbert et les méthodes variationnelles ;

L'ensemble du cours vise à fournir aux élèves un socle de compétences solide en analyse fonctionnelle, qui leur ouvrira l'accès à plusieurs domaines scientifiques : mathématiques fondamentales, mathématiques appliquées, mécanique, physique théorique, ... Ce cours permet d'aborder avec profit tous les enseignements de mathématiques et de mathématiques appliquées de 2ème et 3ème année mais aussi les enseignements de physique et de mécanique dont plusieurs reprendront les notions et les outils introduits dans ce cours.

La théorie de la mesure et de l'intégration sert de fondation à diverses branches des mathématiques et des mathématiques appliquées. Elle est couramment utilisée dans les applications (par exemple en analyse numérique). Elle offre un cadre naturel à la théorie des probabilités telle qu'elle est présentée dans le cours de 2ème année de mathématiques appliquées (MAP 432) et elle sert aussi de fondement à la théorie de la mesure géométrique. Elle sera illustrée principalement à travers ses applications en analyse de Fourier et la construction de certains espaces de Hilbert.

L'analyse de Fourier trouve elle aussi de nombreuses applications : résolution des équations aux dérivées partielles, traitement du signal (voir le cours de MAP 555),...

La théorie des espaces de Hilbert, qui mélange analyse et géométrie, constitue une première approche de la théorie des opérateurs et de la théorie spectrale, c'est aussi un outil essentiel pour résoudre certains problèmes variationnels (voir par exemple le cours d'optimisation MAP 431) et les équations aux dérivées partielles (voir par exemple les cours de MAT431, MAT432 ou MAP431) qui apparaissent en physique et en mécanique (équations de la chaleur, des ondes, de Schrödinger).

Les objets mathématiques étudiées dans ce cours seront motivées et illustrées par quelques applications : l'utilisation de l'analyse de Fourier pour décrire le phénomène de diffraction en optique, l'utilisation de la théorie des espaces de Hilbert en mécanique quantique ...

Accès à Moodle