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MAT311

Introduction à l'analyse réelle - MAT 311
YVAN MARTEL
 

Le cours de MAT311 est l’un des deux cours de tronc commun du département de mathématiques de l’École polytechnique (l’autre, qui lui est parallèle, est le cours de MAT321).
 
Il est destiné aux élèves issus des filières où les mathématiques ont été moins mises en avant. Il s’agit d’un cours d’analyse, décomposé en trois volets successifs d’égale importance :
 
    1. Topologie des espaces vectoriels normés ; 
    2. Théorie de la mesure et intégration ; 
    3. Espaces issus de la théorie de l’intégration. 
 
Tous les sujets ci-dessus appartiennent au coeur des mathématiques actuelles, et présentent un intérêt pour d’autres cours (en physique, en mathématiques appliquées, en mécanique, etc.). Les trois volets s’enchaînent de la façon suivante.
 
On commencera par revenir sur des notions de topologie dans les espaces métriques, surtout et très rapidement dans les espaces vectoriels munis d’une norme. Les notions-clés seront ici celle de densité ainsi que celles de compacité et de complétude, toutes deux fortement liées à la convergence des suites et des séries. Ces idées seront mises en pratique sur des espaces de fonctions. Ceci conduira à formuler des théorèmes fondamentaux en analyse fonctionnelle. Par exemple, alors que certains énoncés permettront d’approcher des fonctions assez générales par des fonctions beaucoup plus familières (et régulières), certains autres seront à la base de la résolution des équations différentielles.
 
La partie centrale du cours traitera du calcul intégral et de la théorie de la mesure. Il s’agira de présenter rapidement la théorie de l’intégration de Lebesgue et surtout de recenser les nombreuses améliorations par rapport à l’approche de Riemann. Cette théorie est d’emblée plus efficace et plus souple sur des questions calculatoires et sur des questions de convergence. En outre, elle s’élabore dans un cadre - la théorie de la mesure - qui permet des généralisations ultérieures indispensables, par exemple, au calcul moderne des probabilités. Des conditions d’intégrabilité définiront enfin de nouvelles classes d’espaces de fonctions pour lesquels les résultats du premier volet seront pertinents. Ce sera aussi l’occasion d’introduire un outil fondamental en mathématiques, et bien au-delà : la transformation de Fourier.
 
La dernière partie portera sur une classe d’espaces vectoriels normés, les espaces de Hilbert, qui forment les prototypes d’espaces fonctionnels auxquels on souhaite généraliser les raisonnements de réduction des applications linéaires en dimension finie. La particularité des espaces de Hilbert parmi les espaces de fonctions plus généraux est qu’on peut y faire des raisonnements géométriques proches de ceux de la géométrie euclidienne. L’importance de ces généralisations est que la théorie des opérateurs linéaires entre espaces de Hilbert fournit, comme la transformation de Fourier, une approche pour la résolution de problèmes issus de la modélisation de phénomènes physiques.