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Séminaire des élèves

Salle de conférences du Centre de Mathématiques Laurent Schwartz (CMLS) - Bâtiment 6

12h25 - Marc Fersztand (X2017)

"Polynômes de Tchebychev, capacité et entiers algébriques"

Résumé : " Cette présentation est la suite de celle du 5 mars (Théorie du potentiel, capacité et entiers algébriques). Elle traite du même problème mais utilise une vision différente à base d’une généralisation des polynômes de Tchebychev. Un entier algébrique est un nombre complexe racine d’un polynôme unitaire à coefficients entiers. On dit qu’un entier algébrique est totalement dans un compact donné du plan complexe si toutes les autres racines de son polynôme minimal sont aussi dans le même compact. Étant donné un compact, comment peut-on savoir s’il existe un nombre fini ou infini d’entiers algébriques totalement dedans ? Ce problème est lié à la notion de capacité d’un compact qui a été présentée avec la vision de l’électrostatique en deux dimensions. Nous donnerons une autre approche pour appréhender la capacité qui utilise les polynômes de Tchebychev d’un ensemble, c’est-à-dire les polynômes unitaires de degré fixé qui minimisent la norme infinie sur cet ensemble.Nous allons montrer dans ce séminaire que si la capacité d’un compact symétrique par rapport à l’axe réel est plus grande que 1, alors tout ouvert le contenant possède un nombre infini d’entiers algébriques totalement inclus dedans (théorème de Fekete-Szegö)."