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Séminaire des élèves

Salle de conférences du Centre de Mathématiques Laurent Schwartz (CMLS) - Bâtiment 6

 

12h25 - Rubing Shen (X2017)

"Théorie du potentiel, capacité et entiers algébriques"

Résumé : "Un entier algébrique est un nombre complexe racine d’un polynôme unitaire à coefficients entiers. On dit qu’un entier algébrique est totalement dans un compact donné du plan complexe si toutes les autres racines de son polynôme minimal sont aussi dans le même compact. Étant donné un compact, comment peut-on savoir s’il existe un nombre fini ou infini d’entiers algébriques totalement dedans ? Ce problème d’apparence algébrique est en réalité intimement lié à un problème de minimisation d’énergie d’origine électrostatique : étant donné un très grand nombre de charges électriques dans un domaine donné, quelle est la distribution à l’équilibre ? Le traitement rigoureux du problème se fait dans le cadre de la théorie du potentiel et introduit une notion centrale : la capacité d’un ensemble, au sens de « capacité d’un condensateur ». Nous allons montrer dans ce séminaire que si la capacité d’un compact est plus petite que 1, alors il contient un nombre fini d’entiers algébriques totalement inclus dedans (théorème de Fekete). À titre d’exemple, pour les segments de R, ceci correspond au cas où la longueur du segment est plus petite que 4."