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Séminaire des élèves

Maxime LOIL (X2016)

Irrationalité de ζ(3)

Résumé : En 1734, Euler a montré que la somme des inverses des carrés d’entiers positifs vaut π2/6, résolvant ainsi le problème de Bâle. Plus généralement, ses techniques de calcul lui ont permis de voir que la valeur de la fonction zêta de Riemann en un entier pair 2k est un multiple rationnel de π2k. Les valeurs aux entiers impairs restent beaucoup plus mystérieuses. Par exemple, il a fallu attendre 1978 pour qu’Apéry prouve que ζ(3), la somme des inverses des cubes d'entiers positifs, est un nombre irrationnel. Le but de l’exposé est de présenter une preuve simplifiée de ce résultat due à Beukers.