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Séminaire des élèves

Rodrigue LELOTTE (X2016)

Sommes de carrés de polynômes

Résumé : Cet exposé aborde la question suivante, popularisée sous le nom de «17ème problème de Hilbert» : étant donné un polynôme à coefficients réels qui ne prend que des valeurs positives, peut-on l’écrire comme somme de carrés de polynômes ? La réponse est en général négative, mais la variante du problème où l’on s’autorise à prendre des carrés de fonctions rationnelles a été démontrée par Artin en 1927. Dans cet exposé, on se contentera d’étudier un résultat antérieur dû à Hilbert lui même : un polynôme positif de degré 4 en deux variables est toujours somme de trois carrés de polynômes. Il s’agit d’une des premières applications de la topologie à l’algèbre.