École polytechnique – Centre de Mathématiques Laurent Schwartz

10h00-12h00 – Christian Bonatti (CNRS, IMB, Dijon)

"Flots de Anosov des variétés de dimension 3 : Fried= Goodman."

Un champ de vecteur d'une variété fermée M de dimension 3 est dit de Anosov si la variété tout entière admet une structure hyperbolique: le fibré tangent à la variété se scinde en somme directe de trois fibrés invariants par l'action naturelle du flot. Les vecteurs de l'un des fibrés sont contractés uniformément, exponentiellement avec le temps, ce d'un autre sont dilatés uniformément, et le troisième fibré est juste dirigé par le champ de vecteur lui même. L'exemple le plus connu est le flot géodésique des surfaces hyperbolique, et les suspensions des automorphismes hyperboliques du tore T^2. Pendant longtemps ce furent les seuls exemples, mais Handel Thurston puis Gooman (1980) montrèrent que, a partir d'un champ donné on peut en construire une infinité d'autres sur une infinité de  variétés, en faisant des chirurgie (dite de Dehn Goodman) a partir des champs initiaux. 

Une interprétation très simple de l'effet de la chirurgie de Goodman est proposée entre les lignes d'un article de Fried (1983), pour les flots d'Anosov transitifs.  Dès la parution, il a semblé évident aux spécialistes que le champs de Goodman est topologiquement équivalent à celui de Fried. Cependant  l'absence  persistante de preuve (malgré les efforts) est devenu un obstacle à la théorie. Dans sa thèse, Mario Shannon comble cette lacune handicapante vieille de 35 ans.  Sa preuve lui permet du même coup de combler un autre vide de la théorie: tout flot "topologiquement d'Anosov" transitive est topologiquement équivalent à un flot d'Anosov.

J'essaierai de présenter le problème, ses difficultés ainsi que les grandes lignes de sa résolution.