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Séminaire DynamiX

École polytechnique – Centre de Mathématiques Laurent Schwartz

 

10h00-12h00 – Raphaël Krikorian (Univ. Cergy-Pontoise)

"Sur la divergence des formes normales de Birkhoff"

Résumé : "Un hamiltonien analytique (ou un difféomorphisme symplectique) admettant un point fixe elliptique non-résonnant est toujours formellement conjugué à une forme normale formelle, sa forme normale de Birkhoff. On sait depuis Siegel (1954) que la conjugaison formelle réduisant le hamiltonien est en général divergente et Hakan Eliasson a demandé si la forme normale de Birkhoff elle même pouvait être divergente. Perez-Marco a démontré en 2001 que si l'on fixe le vecteur de fréquences à l'origine on avait la dichotomie suivante : soit la forme normale de Birkhoff est toujours convergente, soit elle diverge génériquement. Gong (2012) a exhibé un hamiltonien avec un vecteur de fréquences à l'origine de type Liouville et dont la forme normale de Birkhoff diverge. Le but de cet exposé est de présenter et de donner la preuve du théorème suivant : si l'on fixe un vecteur de fréquences diophantien à l'origine, la forme de Birkhoff est génériquement divergente. La démonstration repose sur le fait que la convergence de l'objet formel qu'est la forme normale de Birkhoff a des conséquences dynamiques, en particulier l'abondance anormale de tores invariants qu'admet le hamiltonien."