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Séminaire Algèbre et théorie des nombres

École polytechnique – Centre de Mathématiques Laurent Schwartz

 

Linéarité de réseaux d’immeubles euclidiens et flot géodésique

 

13h30-14h30 : Pierre-Emmanuel Caprace (Univ. Louvain, Belgique) – 1ère partie

15h00-16h00 : Jean Lécureux (Univ. Paris-Sud) – 2ème partie

Résumé : Un groupe est dit linéaire s'il admet une représentation linéaire de dimension finie et d'image infinie sur un corps commutatif. L'objectif de ce double exposé est de présenter un travail commun avec Uri Bader dans lequel nous étudions la linéarité de réseaux d'immeubles euclidiens. Nous nous concentrons sur le cas d'un réseau cocompact G d'un immeuble euclidien irréductible X. Lorsque la dimension de X est supérieure ou égale à 3, alors X est associé à un groupe algébrique simple H sur un corps local k, et nous montrons que G est linéaire si et seulement si son image dans Out(H(k)) est finie. Lorsque la dimension de X vaut 2, nous supposons en outre que X est de type A2-tilde. Dans ce cas il existe une myriade d'exemples où X est exotique (càd ne provient pas d'un groupe algébrique via la théorie de Bruhat-Tits); nous montrons que si X est exotique alors G est non linéaire. La démonstration, qui sera esquissée dans le second exposé, fait appel à la théorie des représentations algébriques des systèmes ergodiques, due à Bader et Furman. L'adaptation de cet outil à notre situation s'effectue à l'aide du flot géodésique singulier, dont nous établissons l'ergodicité