Publications

2006

• Systèmes locaux rigides et transformation de Fourier.
  
  • Paiva Adelino
  , 2006. En 1857, en traduisant dans un langage moderne, Riemann a montré que l'équation hypergéométrique peut être reconstruite, à isomorphisme près, à partir de la connaissance de ses mono dromies aux points 0, 1 et ∞. Dans un langage moderne, on dit que l'équation hypergéométrique est rigide et que son système local est physiquement rigide. Katz, dans son livre Rigid Local Systems [11], donne une condition nécessaire et usante pour qu'un système local L sur P1 soit physiquement rigide (Théorème 1.1.2 page 14). Dans la section 3.1 on étend cette définition au cadre des DP1 -modules en utilisant la notion d'extension minimale, laquelle est présentée dans le chapitre 2. Katz montre, cf. [11] Théorème 3.0.2 page 91, que la transformation de Fourier, en caractéristique positive, préserve l'indice de rigidité des faisceaux pervers irréductibles, pourvu que ni le faisceau ni sont transformé de Fourier soient à support ponctuel. D'autre part Katz pense aussi que la transformation de Fourier dans le cadre des D-modules doit préserver l'indice de rigidité, cf. [11] page 10. En utilisant ces conditions comme guide, on infère l'énoncé du théorème 3.2.1, cf. section 3.2, et on le démontre dans le cas où le module de départ est régulier sur P1. Pendant la préparation de cette thèse, S. Bloch et H. Esnault ont montré ce résultat en toute généralité dans [2]. Nous proposons ici une démonstration différente lorsque le module de départ est à singularités régulières sur P1. La démonstration est faite en comparant l'indice de rigidité d'un DP1 -module, cf. Théorème 3.1.1, et de son transformé de Fourier, cf. Théorème 3.1.7. L'expression de l'indice de rigidité du DP1 -module de départ fait appel à la connaissance de la monodromie sur chacun de ses points singuliers et l'expression de l'indice de rigidité de son transformé de Fourier fait appel à la connaissance de la monodromie en 0 et des mono dromies de la décomposition de Turrittin à l'infini. Les notions de transformation de Fourier et de décomposition de Turrittin sont présentées dans le chapitre 1. Dans son livre Équations différentielles à coefficients polynomiaux Malgrange montre, d'une façon analytique, que ces mono dromies ne sont pas indépendantes, cf. [16] Théorème XII.2.9 page 203. Dans le chapitre 3 on le démontre d'une façon algébrique en utilisant aussi la notion de couples d'espaces vectoriels, notion présenté dans le chapitre 2.
• Positivité en géométrie algébrique et en géométrie d'Arakelov : application à l'algébrisation et à l'étude asymptotique des polygones de Harder-Narasimhan
  
  • Chen Huayi
  , 2006. Le but de cette thèse est d'étudier diveres notions de positivité, dans le cadre de la géométrie algébrique et de la géométrie d'Arakelov, pour un fibré vectoriel sur une variété algébrique projective, et de développer des applications à l'étude de l'algébricité des sous-schémas formels des variété algébriques et du comportement asymptotique des polygones de Harder-Narasimhan. Dans la première partie de la thèse, on propose une condition appelée P3 d'un fibré vectoriel sur une varété algébrique projective de dimension au moins 1. On vérifie que cette condition est plus faible que l'amplitude du fibré vectoriel et dans le cadre de la géométrie algébrique complexe, plus faible que la 1-positivité. On montre que si la condition P3 est vérifiée pour le fibré normal du schéma de définition dans un sous-schéma formel, alors on a l'algébricité du sous-schéma formel considéré. Enfin, on donne une application de ce critère à la comparaison de l'équivalence dans un voisinage étale et celle dans un voisinage formel de deux couples de schémas. Une analogue de la condition P3 dans le cadre de la géométrie d'Araklov est aussi étudiée. Dans la deuxième partie de la thèse, on propose un nouveau point de vu de la filtration de Harder-Narasimhan d'un fibré vectoriel (resp. fibré vectoriel hermitien) sur une courbe projective lisse (resp. le spectre de un anneau des entiers algébriques). On en profite de ramener l'étude de la filtration (ou le polygone) de Harder-Narasimhan à celui de la mesure (borélienne sur R) associée. En combinant cette interprétation avec un argument combinatoire, on démontre que, sous des conditions techniques très faibles, les polygones de Harder-Narasimhan (normalisés) associés à une algèbre graduée de type fini en fibrés vectoriels (hermitiens) convergent uniformément vers une courbe concave sur [0,1], où la démonstration de la partie arithmétique utilise une nouvelle estimation de la pente maximale du produit tensoriel de plusieurs fibrés vectoriels hermitiens développée dans cette thèse.
• Localisation et décroissance des champs de la mécanique des fluides et des plasmas. Espaces fonctionnels associés à une famille de champs de vecteurs.
  
  • Vigneron Francois
  , 2006. La première partie est consacrée à l'étude du comportement asymptotique des solutions de Navier-Stokes incompressible à l'infini de la variable d'espace. On obtient des résultats optimaux de propagation de la décroissance en terme d'espaces à poids, ainsi qu'un developpement asymptotique de la vitesse et de la pression analogue à la loi de Bernoulli. La théorie s'étend à un modèle de la MHD. La seconde partie est consacrée à l'étude des espaces de Sobolev associés à une famille de champs de vecteurs, de type sous-elliptique. Les principaux résultats sont la description des régularités fractionnaires avec la distance de Carnot, la démonstration d'inégalités de Hardy et, dans le cas du groupe de Heisenberg, la théorie des traces sur une hypersurface caractéristique générique.
• A minicourse on entropy theory on the interval
  
  • Buzzi Jerome
  , 2006. We give a survey of the entropy theory of interval maps as it can be analyzed using ergodic theory, especially measures of maximum entropy and periodic points. The main tools are (i) a version of Hofbauer's Markov diagram, (ii) the shadowing property and the implied entropy bound and weak rank one property, (iii) strongly positively recurrent countable state Markov shifts. Proofs are given for selected results. This article is based on the lectures given at the Ecole thematique de theorie ergodique at the C.I.R.M., Marseilles, in April 2006.
• Bergman kernels and symplectic reduction
  
  • Ma Xiaonan
  • Zhang Weiping
  , 2006. We generalize several recent results concerning the asymptotic expansions of Bergman kernels to the framework of geometric quantization and establish an asymptotic symplectic identification property. More precisely, we study the asymptotic expansion of the $G$-invariant Bergman kernel of the spin^c Dirac operator associated with high tensor powers of a positive line bundle on a symplectic manifold. We also develop a way to compute the coefficients of the expansion, and compute the first few of them, especially, we obtain the scalar curvature of the reduction space from the $G$-invariant Bergman kernel on the total space. These results generalize the corresponding results in the non-equivariant setting, which has played a crucial role in the recent work of Donaldson on stability of projective manifolds, to the geometric quantization setting. As another kind of application, we generalize some Toeplitz operator type properties in semi-classical analysis to the framework of geometric quantization. The method we use is inspired by Local Index Theory, especially by the analytic localization techniques developed by Bismut and Lebeau.
• Superconnection and family Bergman kernels
  
  • Ma Xiaonan
  • Zhang Weiping
  , 2006. We establish an asymptotic expansion for families of Bergman kernels. The key idea is to use the superconnection as in the local family index theorem.
• Local Euler-Maclaurin formula for polytopes
  
  • Berline Nicole
  • Vergne Michèle
  , 2006. We give a local Euler-Maclaurin formula for rational convex polytopes in a rational euclidean space . For every affine rational polyhedral cone C in a rational euclidean space W, we construct a differential operator of infinite order D(C) on W with constant rational coefficients, which is unchanged when C is translated by an integral vector. Then for every convex rational polytope P in a rational euclidean space V and every polynomial function f (x) on V, the sum of the values of f(x) at the integral points of P is equal to the sum, for all faces F of P, of the integral over F of the function D(N(F)).f , where we denote by N(F) the normal cone to P along F.
• On the uniqueness of generating Hamiltonian for continuous limits of Hamiltonians flows
  
  • Viterbo Claude
  International Mathematics Research Notices, Oxford University Press (OUP), 2006, 2006, pp.ID34028. We show that if a sequence of Hamiltonian flows has a $C^0$ limit, and if the generating Hamiltonians of the sequence have a limit, then this limit is uniquely determned by the limiting $C^0$ flow. This answers a question by Y.G. Oh. (10.1155/IMRN/2006/34028)
  DOI : 10.1155/IMRN/2006/34028
• η-invariant and flat vector bundles II
  
  • Ma Xiaonan
  • Zhang Weiping
  , 2006. We first apply the method and results in the previous paper to give a new proof of a result (hold in $ {\bf C}/{\bf Z}$) of Gilkey on the variation of $\eta$-invariants associated to non self-adjoint Dirac type operators. We then give an explicit local expression of certain η-invariant appearing in recent papers of Braverman-Kappeler on what they call refined analytic torsion, and propose an alternate formulation of their definition of the refined analytic torsion. A refinement in ${\bf C}$ of the above variation formula is also proposed.
• L'édition sans drame
  
  • Bouche Thierry
  • Laurent Yves
  • Sabbah Claude
  Gazette des Mathématiciens, Société Mathématique de France, 2006 (108), pp.86-88.
• Estimates of Characteristic numbers of real algebraic varieties
  
  • Laszlo Yves
  • Viterbo Claude
  Topology, Elsevier, 2006, 45 (2), pp.261-280. We give some explicit bounds for the number of cobordism classes of real algebraic manifolds of real degree less than $d$, and for the size of the sum of $\mod 2$ Betti numbers for the real form of complex manifolds of complex degree less than $d$.
• A remark on 'Some numerical results in complex differential geometry
  
  • Liu Kefeng
  • Ma Xiaonan
  , 2006. In this note we verify certain statement about the operator $Q_K$ constructed by Donaldson in [3] by using the full asymptotic expansion of Bergman kernel obtained in [2] and [4].
• Lectures on Kähler Geometry
  
  • Moroianu Andrei
  , 2006. These notes, based on a graduate course I gave at Hamburg University in 2003, are intended to students having basic knowledges of differential geometry. Their main purpose is to provide a quick and accessible introduction to different aspects of Kähler geometry.
• On the controllability of anomalous diffusions generated by the fractional Laplacian
  
  • Miller Luc
  Mathematics of Control, Signals, and Systems, Springer Verlag, 2006, 18 (3), pp.260-271. This paper introduces a "spectral observability condition" for a negative self-adjoint operator which is the key to proving the null-controllability of the semigroup that it generates and to estimating the controllability cost over short times. It applies to the interior controllability of diffusions generated by powers greater than 1/2 of the Dirichlet Laplacian on manifolds, generalizing the heat flow. The critical fractional order 1/2 is optimal for a similar boundary controllability problem in dimension one. This is deduced from a subsidiary result of this paper, which draws consequences on the lack of controllability of some one dimensional output systems from Müntz-Szasz theorem on the closed span of sets of power functions. (10.1007/s00498-006-0003-3)
  DOI : 10.1007/s00498-006-0003-3
• The trace problem for Sobolev spaces over the Heisenberg group
  
  • Vigneron François
  , 2006.
• The canonical pencils on Horikawa surfaces
  
  • Auroux Denis
  , 2006.
• Construction of Sobolev spaces of fractional order with sub-riemannian vector fields
  
  • Vigneron François
  • Mustapha Sami
  , 2006.
• Multiple solutions to the supercritical Bahri-Coron's problem in pierced domains
  
  • Pistoia Angela
  • Rey Olivier
  Advances in Differential Equations, Khayyam Publishing, 2006, 11 (6), pp.647-666. We consider the supercritical Dirichlet problem $$\left(P_\epsilon\right)\qquad -\Delta u=u^{{N+2\over N-2}+\epsilon}\ \hbox{in $\Omega$},\ u>0\ \hbox{in $\Omega,$}\ u=0\ \hbox{on $\partial\Omega$} $$ where $N\ge3,$ $\epsilon>0$ and $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ is a smooth bounded domain with a small hole of radius $d.$ When $\Omega$ has some symmetries, we show that $\left(P_\epsilon\right)$ has an arbitrary number of solutions for $\epsilon$ and $d$ small enough. When $\Omega$ has no symmetries, we prove the existence, for $d$ small enough, of solutions blowing up at two or three points close to the hole as $\epsilon$ goes to zero.
• Mirror symmetry for weighted projective planes and their noncommutative deformations
  
  • Auroux Denis
  • Katzarkov L.
  • Orlov Dmitri
  , 2006.
• The canonical pencils on Hokirawa surfaces
  
  • Auroux Denis
  , 2006.
• On the localization of the magnetic and the velocity fields in the equations of magnetohydrodynamics
  
  • Brandolese Lorenzo
  • Vigneron François
  Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A, Mathematics, Royal Society of Edinburgh, 2006, 2007 (137), pp.475--495. We study the behavior at infinity, with respect to the space variable, of solutions to the magnetohydrodynamics equations in ${\bf R}^d$. We prove that if the initial magnetic field decays sufficiently fast, then the plasma flow behaves as a solution of the free nonstationnary Navier--Stokes equations when $|x|\to +\infty$, and that the magnetic field will govern the decay of the plasma, if it is poorly localized at the beginning of the evolution. Our main tools are boundedness criteria for convolution operators in weighted spaces.
• Hamiltonian 2-forms in Kahler geomtry
  
  • Gauduchon Paul
  Journal of Differential Geometry, International Press, 2006, 73 N°3, pp.359-412.
• eta-invariant and flat vector bundles
  
  • Ma Xiaonan
  • Zhang Weiping
  Chinese Annals of Mathematics - Series B, Springer Verlag, 2006, 27, pp.67-72.
• The Bochner-flat geomtry of weighted projective spaces
  
  • Gauduchon Paul
  , 2006, pp.109-155.
• Property change in decorative TiCxOy thin films: effect of the C/O ratio
  
  • Fernandes A.C.
  • Carvalho P.
  • Vaz Filipe
  • Lanceros-Méndez S.
  • Machado A.V.
  • Parreira N.M.G.
  • Pierson J.F.
  • Martin Nicolas
  Thin Solid Films, Elsevier, 2006, 515 (3), pp.866-871. (10.1016/j.tsf.2006.07.047)
  DOI : 10.1016/j.tsf.2006.07.047