Publications

2016

• Sur les représentations automorphes non ramifiées des groupes linéaires sur Q de petits rangs.
  
  • Mégarbané Thomas
  , 2016. Cette thèse est consacrée à l'étude des représentations automorphes algébriques des groupes linéaires découvertes par Chenevier-Renard. On s'intéresse plus particulièrement à leurs paramètres de Satake. Pour cela, nous utilisons la théorie d'Arthur afin de faire apparaître ces représentations par le biais de représentations automorphes discrètes des groupes spéciaux orthogonaux de réseaux bien choisis. Ensuite, on détermine des propriétés d'opérateurs de Hecke agissant sur ces mêmes réseaux, ce qui nous donne de nombreuses informations sur ces paramètres de Satake. On arrive notamment à déterminer la trace dans la représentation standard de nombreux paramètres de Satake des représentations algébriques évoquées, dont les poids peuvent être arbitrairement grands. Ces résultats nous permettent aussi de déterminer de nombreux opérateurs de Hecke, associés aux voisinage de Kneser, vus comme endomorphismes agissant sur les classes d'isomorphisme des réseaux pairs de déterminant 2 en dimension 23 ou 25.
• Construction of Multi-Solitons for the Energy-Critical Wave Equation in Dimension 5
  
  • Martel Yvan
  • Merle Frank
  Archive for Rational Mechanics and Analysis, Springer Verlag, 2016, 222 (3), pp.1113 - 1160. (10.1007/s00205-016-1018-7)
  DOI : 10.1007/s00205-016-1018-7
• Controllability of a 2D quantum particle in a time-varying disc with radial data
  
  • Moyano Iván
  , 2016. In this article we consider a 2-D quantum particle confined a disc whose radius can be deformed continuously in time. We study the problem of controllability of such a quantum particle via deformations of the initial disc, i.e., when we set the time-dependent radius of the disc to be control variable. We prove that the resulting system is locally controllable around some radial trajectories which are linear combinations of the first three radial eigenfunc-tions of the Laplacian in the unit disc with Dirichlet boundary conditions. We prove this result, thanks to the linearisation principle, by studying the linearised system, which leads to a moment problem that can be solved using some results from Nonharmonic Fourier series. In particular, we have to deal with fine properties of Bessel functions.
• Influence et réception de Bourbaki
  
  • Viterbo Claude
  Images des mathématiques, CNRS, 2016. (10.60868/hwvn-g775)
  DOI : 10.60868/hwvn-g775
• Feynman amplitudes and limits of heights
  
  • Amini O
  • Bloch J
  • Burgos Gil J
  • Fresán J
  Izvestiya: Mathematics, Turpion, 2016, 80 (5), pp.813 - 848. (10.1070/IM8492)
  DOI : 10.1070/IM8492
• Bounds on the Speed of Type II Blow-up for the Energy Critical Wave Equation in the Radial Case
  
  • Jendrej Jacek
  International Mathematics Research Notices, Oxford University Press (OUP), 2016, 2016 (21), pp.6656-6688. (10.1093/imrn/rnv365)
  DOI : 10.1093/imrn/rnv365
• Minimal mass blow up solutions for a double power nonlinear Schrödinger equation
  
  • Le Coz Stefan
  • Martel Yvan
  • Raphaël Pierre
  Revista Matemática Iberoamericana, European Mathematical Society, 2016, 32 (3), pp.795-833. We consider a nonlinear Schrödinger equation with double power nonlinearity, where one power is focusing and mass critical and the other mass sub-critical. Classical variational arguments ensure that initial data with mass less than the mass of the ground state of the mass critical problem lead to global in time solutions. We are interested by the threshold dynamic and in particular by the existence of finite time blow up minimal solutions. For the mass critical problem, such an object exists thanks to the explicit conformal symmetry, and is in fact unique. For the focusing double power nonlinearity, we exhibit a new class of minimal blow up solutions with blow up rates deeply affected by the double power nonlinearity. The analysis adapts the recent approach developed by Raphaël and Szeftel for the construction of minimal blow up elements. (10.4171/rmi/899)
  DOI : 10.4171/rmi/899
• Controllability of some kinetic equations, parabolic degenerate equations and Schrödinger equations
  
  • Moyano Iván
  , 2016. This memoir presents the results obtained during my PhD, whose goal is the study of the controllability of some Partial Differential Equations. The first part of this thesis is concerned with the study of the controllability of some kinetic equations undergoing different regimes. Under a collisional regime, we study the controllability of the Kolmogorov equation, a particular case of kinetic Fokker-Planck equation, in the phase space R d × R d . We obtain the null-controllability of this equation thanks to the use of a spectral inequality associated to the Laplace operator in the whole space. Under a non-collisional regime, we study the controllability of two fluid-kinetic models, the Vlasov-Stokes system and the Vlasov-Navier-Stokes system, which exhibe nonlinearities due to the coupling terms. In those cases, the strategy relies on the Return method. In the second part, we study the controllability of a family of 1-D degenerate parabolic equations by the flatness method, which allows the construction of explicit controls. The third part is focused on the problem of the controllability of the Schrödinger equation via domain deformations, i.e., using the domain as a control. We obtain a result of this kind in the case of the two-dimensional unit disk, for radial data. Our methods are based on a local exact controllability result around a certain trajectory, obtained thanks to the Inverse Mapping theorem.
• Controllability of of some kinetic equations, of parabolic degenerated equations and of the Schrödinger equation via domain transformation.
  
  • Moyano Garcia Iván
  , 2016. This memoir presents the results obtained during my PhD, whose goal is the study of the controllability of some Partial Differential Equations.The first part of this thesis is concerned with the study of the controllability of some kinetic equations undergoing different regimes. Under a collisional regime, we study the controllability of the Kolmogorov equation, a particular case of kinetic Fokker-Planck equation, in the phase space R^d x R^d. We obtain the null-controllability of this equation thanks to the use of a spectral inequality associated to the Laplace operator in the whole space. Under a non-collisional regime, we study the controllability of two fluid-kinetic models, the Vlasov-Stokes system and the Vlasov-Navier-Stokes system, which exhibe nonlinearities due to the coupling terms. In those cases, the strategy relies on the Return method.In the second part, we study the controllability of a family of 1-D degenerate parabolic equations by the flatness method, which allows the construction of explicit controls.The third part is focused on the problem of the controllability of the Schrödinger equation via domain deformations, i.e., using the domain as a control. We obtain a result of this kind in the case of the two-dimensional unit disk, for radial data. Our methods are based on a local exact controllability result around a certain trajectory, obtained thanks to the Inverse Mapping theorem.
• Spherical character of a supercuspidal representation as weighted orbital integral
  
  • Delorme Patrick
  • Harinck Pascale
  , 2016. Let $\rm E/\rm F$ be an unramified quadratic extension of local non archimedean fields of characteristic 0. Let $\underline{H}$ be an algebraic reductive group, defined and split over $\rm F$. We assume that the split connected component of the center of $\underline{H}$ is trivial. Let $(\tau,V)$ be a $\underline{H}(\rm F)$-distinguished supercuspidal representation of $\underline{H}(\rm E)$. Using the recent results of C. Zhang, and the geometric side of a local relative trace formula obtained by P. Delorme, P. Harinck and S. Souaifi, we describe spherical characters associated to $\underline{H}(\rm F)$-invariant linear forms on $V$ in terms of weighted orbital integrals of matrix coefficients of $\tau$.
• Symbolic calculus for singular curve operators
  
  • Paul Thierry
  , 2016. We define a generalization of the Töplitz quantization, suitable for operators whose Töplitz symbols are singular. We then show that singular curve operators in topological quantum fields theory (TQFT) are generalized Töplitz operators and we compute their main symbol, determined by the associated classical trace function.
• The class of the affine line is a zero divisor in the Grothendieck ring: an improvement
  
  • Martin Nicolas
  Comptes rendus de l'Académie des sciences. Série I, Mathématique, Elsevier, 2016, 354, pp.936-939. Lev A. Borisov has shown that the class of the affine line is a zero divisor in the Grothendieck ring of algebraic varieties over complex numbers. We improve the final formula by removing a factor.
• Ill-Posedness of the Hydrostatic Euler and Singular Vlasov Equations
  
  • Han-Kwan Daniel
  • Nguyen Toan
  Archive for Rational Mechanics and Analysis, Springer Verlag, 2016, 221 (3), pp.1317 - 1344. (10.1007/s00205-016-0985-z)
  DOI : 10.1007/s00205-016-0985-z
• Local null-controllability of the 2-D Vlasov-Navier-Stokes system
  
  • Moyano Iván
  , 2016. We prove a null controllability result for the Vlasov-Navier-Stokes system, which describes the interaction of a large cloud of particles immersed in a fluid. We show that one can modify both the distribution of particles and the velocity field of the fluid from any initial state to the zero steady state, by means of an internal control. Indeed, we can modify the non-linear dynamics of the system in order to absorb the particles and let the fluid at rest. The proof is achieved thanks to the return method and a Leray-Schauder fixed-point argument.
• Non-archimedean normal families
  
  • Rodríguez Vázquez Rita
  , 2016. We present several results on the compactness of the space of morphisms between analytic spaces in the sense of Berkovich. We show that under certain conditions on the source, every sequence of analytic maps having an affinoid target has a subsequence that converges pointwise to a continuous map. We also study the class of continuous maps that arise in this way. Locally, they turn analytic after a certain base change. We give some applications of these results to the dynamics of an endomorphism f of the projective space. We define the Fatou set as the normality locus of the family of the iterates {f n }. We then generalize to the non-Archimedan setting a theorem of Ueda stating that every Fatou component is hyperbolically imbedded in the projective space.
• Stabilité des solitons et des multi-solitons pour l'équation de Landau-Lifschitz
  
  • Bahri Yakine
  , 2016. Dans cette thèse, nous étudions l'équation de Landau-Lifshitz avec une anisotropie planaire en dimension un. Cette équation décrit la dynamique de l'aimantation dans des matériaux ferromagnétiques. Elle admet des solutions particulières de type onde progressive appelées solitons.D'abord, nous montrons la stabilité asymptotique des solitons de vitesse non nulle appelés solitons sombres dans l'espace d'énergie. Plus précisément, nous prouvons que toute solution correspondant à une donnée initiale proche du soliton de vitesse non nulle, converge faiblement dans l'espace d'énergie en temps long, vers un soliton de vitesse non nulle, sous les invariances géométriques de l'équation. Notre analyse repose sur les idées développées par Martel et Merle pour les équations de Korteweg-de Vries généralisées. Nous utilisons la transformée de Madelung pour étudier le problème dans le cadre hydrodynamique. Nous invoquons ensuite la stabilité orbitale des solitons et la continuité faible du flot afin de construire le profil limite. Nous établissons de plus une formule de monotonie pour le moment, ce qui nous permet d'avoir la localisation du profil limite. Sa régularité et sa décroissance exponentielle découlent d'un résultat de régularité pour les solutions localisées des équations de Schrödinger. Nous finissons la preuve par un théorème de type Liouville, qui nous indique que seuls les solitons vérifient ces propriétés dans leurs voisinages.Nous nous intéressons également à la stabilité asymptotique d'une superposition de plusieurs solitons appelées multi-solitons. Les solitons de vitesse non nulle sont ordonnés selon leurs vitesses et sont initialement bien séparés. Nous démontrons la stabilité asymptotique autour et entre les solitons. Plus précisément, nous montrons que pour une donnée initiale proche de la somme de N solitons sombres, la solution correspondante converge faiblement vers un des solitons de la somme, quand elle est translatée au niveau du centre de ce soliton, et converge faiblement vers zéro quand elle est translatée entre les solitons.
• On the dynamics of energy-critical focusing wave equations
  
  • Jendrej Jacek
  , 2016. In this thesis we study the global behavior of solutions of the energy-criticalfocusing nonlinear wave equation, with a special emphasis on the description of the dynamics in the energy space. We develop a new approach, based on the energy method, to constructing unstable type II blow-up solutions. Next, we give the first example of a radial two-bubble solution of the energy-critical wave equation. By implementing this construction in the case of the equivariant wave map equation, we obtain bubble-antibubble solutions in equivariance classes k > 2. We also study the relationship between the speed of a type II blow-up and the weak limit of the solution at the blow-up time. Finally, we prove that there are no pure radial two-bubbles with opposite signs for the energy-critical wave equation.
• Untangling trigonal diagrams
  
  • Brugallé Erwan
  • Koseleff Pierre-Vincent
  • Pecker Daniel
  Journal of Knot Theory and Its Ramifications, World Scientific Publishing, 2016, 25 (7). Let $K$ be a link of Conway's normal form $C(m)$, $m \geq 0$, or $C(m,n)$ with $mn>0$, and let $D$ be a trigonal diagram of $K.$ We show that it is possible to transform $D$ into an alternating trigonal diagram, so that all intermediate diagrams remain trigonal, and the number of crossings never increases. (10.1142/S0218216516500437)
  DOI : 10.1142/S0218216516500437
• On the lexicographic degree of two-bridge knots
  
  • Brugallé Erwan
  • Koseleff Pierre-Vincent
  • Pecker Daniel
  Journal of Knot Theory and Its Ramifications, World Scientific Publishing, 2016, 25 (7). We study the degree of polynomial representations of knots. We obtain the lexicographic degree for two-bridge torus knots and generalized twist knots. The proof uses the braid theoretical method developed by Orevkov to study real plane curves, combined with previous results from [KP10] and [BKP14]. We also give a sharp lower bound for the lexicographic degree of any knot, using real polynomial curves properties. (10.1142/S0218216516500449)
  DOI : 10.1142/S0218216516500449
• Landau damping for the linearized Vlasov Poisson equation in a weakly collisional regime
  
  • Tristani Isabelle
  , 2016. In this paper, we consider the linearized Vlasov-Poisson equation around an homogeneous Maxwellian equilibrium in a weakly collisional regime: there is a parameter $\eps$ in front of the collision operator which will tend to $0$. Moreover, we study two cases of collision operators, linear Boltzmann and Fokker-Planck. We prove a result of Landau damping for those equations in Sobolev spaces uniformly with respect to the collision parameter $\eps$ as it goes to $0$.
• Instabilities in the Mean Field Limit
  
  • Han-Kwan Daniel
  • Nguyen Toan
  Journal of Statistical Physics, Springer Verlag, 2016, 162 (6), pp.1639 - 1653. (10.1007/s10955-016-1455-6)
  DOI : 10.1007/s10955-016-1455-6
• Codimension One Threshold Manifold for the Critical gKdV Equation
  
  • Martel Yvan
  • Merle Frank
  • Nakanishi Kenji
  • Raphaël Pierre
  Communications in Mathematical Physics, Springer Verlag, 2016, 342 (3), pp.1075 - 1106. (10.1007/s00220-015-2509-3)
  DOI : 10.1007/s00220-015-2509-3
• Delocalization of quasimodes on the disk
  
  • Léautaud Matthieu
  • Anantharaman Nalini
  • Macià Fabricio
  Comptes Rendus. Mathématique, Académie des sciences (Paris), 2016, 354 (3), pp.257 - 263. (10.1016/j.crma.2015.10.016)
  DOI : 10.1016/j.crma.2015.10.016
• Differential systems of pure Gaussian type
  
  • Sabbah Claude
  Izvestiya: Mathematics, Turpion, 2016, 80 (1), pp.189 - 220. (10.1070/IM8308)
  DOI : 10.1070/IM8308
• Construction de surfaces à courbure moyenne constante et surfaces minimales par des méthodes perturbatives
  
  • Zolotareva Tatiana
  , 2016. Cette thèse s'inscrit dans l'étude des sous-variétés minimales et à courbure moyenne constante et de l'influence de la géométrie de la variété ambiante sur les solutions de ce problème.Dans le premier chapitre, en suivant les idées de F. Almgren, on propose une généralisation de la notion d'hypersurface de courbure moyenne constante à toutes codimensions. En dimension n-k on définie les sous-variétés à courbure moyenne constante comme les points critiques de la fonctionnelle de k-volume des bords des variétés minimales de dimension k+1. On prouve l'existence dans une variété riemannienne compacte de dimension n de sous-variétés à courbure moyenne constante de codimension n-k pour tout k < n qui sont des perturbations des sphères géodésiques de petit volume.Dans le deuxième chapitre, on s'intéresse aux surfaces minimales à bords libres dans la boule unité de l'espace euclidien de dimension 3, c'est-à-dire aux surfaces minimales plongées dans la boule unité dont le bord rencontre la sphère unité orthogonalement. On démontre l'existence de deux famille géométriquement distinctes de telles surfaces qui sont indexées par un entier n assez grand, qui représente le nombre de composantes connexes du bord de ces surfaces. Nous donnons en particulier une deuxième preuve d'un résultat de A. Fraser et R. Schoen concernant l'existence de telles surfaces.Un des résultats fondamentaux de la théorie des surfaces à courbure moyenne constante est le théorème de Hopf qui affirme que les seules sphères topologiques à courbure moyenne constante dans l'espace euclidien de dimension 3 sont les sphères rondes. Dans le troisième chapitre, on propose une construction dans une variété riemannienne de dimension 3 d'une famille de sphères topologiques à courbure moyenne constante qui ne sont pas convexes et dont la courbure moyenne est très grande.