Dans cette présentation nous cherchons à résoudre numériquement des jeux à champ moyen potentiels avec des techniques d'optimisation.
Cette présentation est divisée en trois parties:
- On commence par présenter des outils d'analyse convexe. Cette partie devrait être accessible à tous et permettre de saisir les outils essentiels utilisés dans la suite de la présentation. On définit la transformé de Fenchel, on présente la relation avec le sous-gradient dans le cas d'une fonction convexe et on prouve le Théorème de Fenchel-Rockafellar.
- Ensuite on s'intéressera à deux algorithmes d'optimisation : la méthode des directions alternées (ADMM) et une classe de méthodes proximal primal-dual (proposé par A. Chambolle et T. Pock). On présentera notamment les conditions sous-lesquelles les méthodes convergent.
- Enfin nous présenterons deux problèmes de jeux champ moyen potentiel discret. Un premier concernant des interactions à travers la loi des états et un second à travers la loi jointe des états et des stratégies des joueurs. Après avoir discuté leurs interprétations on expliquera comment le Théorème de Fenchel-Rockafellar s'applique et on montrera des résultats numériques.

In this talk, I will introduce a 'famous' fluid-kinetic model, the Vlasov-Navier-Stokes system. This is a non-linear coupled system of partial differential equations which describes, in a statistical way, the motion of small droplets evolving within an homogeneous incompressible and viscous fluid.

This model, which strongly combines kinetic theory and fluid mechanics, has recently raised several mathematical issues. Here, I will introduce the system and explain briefly how one can construct global weak solutions. Then, I will present some recent results about the large time behavior of these general solutions on bounded domains: roughly speaking, the distribution function of the particles tends to concentrate in velocity towards a singular profile, meanwhile the final spatial dynamics is governed by the absorption phenomenon stemming from the boundary. If the times permits, I will provide some ingredients of proof, which is based on the remarkable energy-dissipation structure enjoyed by the system.

(The last part is a joint work with Daniel Han-Kwan from CMLS and Ayman Moussa from LJLL)

Les patterns de diversité génétique observés dans une population contiennent de l’information sur son passé : événements d’extinction ou d’expansion, nombre d’introductions,… Afin de les exploiter, il est nécessaire d’avoir un modèle mathématique sous-jacent permettant de faire de l’inférence. Dans cet exposé, nous nous intéresserons à une famille de modèles basés sur un processus ponctuel de Poisson encodant les événements de reproduction. Nous étudierons dans un premier temps le processus Lambda-Fleming Viot spatial, puis son extension à des populations en expansion : le processus Lambda-Fleming Viot spatial à k parents. Nous appliquerons à ces modèles l’idée classique en génétique des populations d’utiliser un processus dual pour étudier la diversité génétique dans un échantillon. Enfin, nous nous intéresserons à la limite k →+ ∞ du Lambda-Fleming Viot spatial à k parents, qui est un analogue continu d’un modèle classique de croissance de colonies de bactéries : le modèle d’Eden.

In this presentation, I will present the Einstein equations, which are at the heart of the general relativity theory. This system of equations are supposed to describe the geometrical structure of the spacetime we live in. After some (short) geometrical definitions, I will adopt a very naive point of view to explain how one can solve the Einstein equations, by making some comparison with other well-known PDE coming from physics (Maxwell, Navier-Stokes...). The goal of the presentation is to (not very rigorously) prove the local existence of solutions to the Einstein equations in the harmonic gauge, a theorem proved by Yvonne Choquet-Bruhat in 1952.

We give an elementary introduction to a bijection, due to Scott Sheffield, between loop-decorated planar maps and hamburger-cheeseburger inventory trajectories. Through this bijection, studying the convergence of the hamburger and cheeseburger walks associated to a particular model of random planar maps yields a scaling limit in the so-called peanosphere topology. This reveals a surprising connection between some model of loop-decorated random planar maps and Brownian excursions in the plane. No prerequisite will be needed.

At CEA, we perform heavy numerical simulations in the context of nuclear safety studies, specifically for thermal-hydraulics systems. The physical models used to represent these systems are built on simplifying assumptions and approximations that might lead to a mismatch between predictions and experimental observations. Our question is the following: how can we estimate the model error, also called model discrepancy, which is caused by the approximations made in a given physical model ? We propose an answer inspired by the traditional framework of Bayesian Calibration for computer codes. In this framework, the model error is learned using a Gaussian Process prior. Starting with a different definition of model error, we propose a new estimation method based on a Full Maximum A Posteriori approximation. Under a Gaussian approximation of the posterior, we show that we provide a more accurate estimation and avoid effects of "false certitude". We also present an application on a thermics code to illustrate the interest of our approach.

Les travaux de Charles Darwin sur l’évolution ont motivé de longues recherches sur les effets des mutations génétiques et de la sélection naturelle. Cependant, les avancées techniques récentes ont permis aux biologistes de s’apercevoir qu’à l’échelle individuelle et sur une échelle temps plus courte que l’échelle évolutive, l’expression des gènes impliqués dans le métabolisme bactérien est hétérogène. Nous proposons dans cet exposé quelques approches de modélisation plus ou moins simples soutenues par des hypothèses biologiques, partant d’une formalisation des mécanismes majeurs qui ont lieu à l’intérieur de la cellule bactérienne à une description des dynamiques globales pour des cultures en grande population.

Spectral theory has been interesting various communities in last century and still. We are particularly interested in the spectrum of the Laplace operator with Dirichlet boundary conditions on ∂Ω where Ω ⊂ Rd, and more precisely its first eigenvalue also known as the fundamental frequency (λ1(Ω)). Unfortunately, for almost all given sets Ω, there is no explicit formula for λ1(Ω). This motivates to look for estimates via other functionals, which are much easier to compute (for example: Perimeter P(Ω) and measure |Ω|). First, we give a brief introduction on shape optimization and spectral theory, then we introduce the following set of points, which can be called the Blaschke-Santalo diagram of the triplet (λ1, P, |·|):