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Groupe de travail PEIPS

Les séances du groupe de travail ont lieu en salle de conférence du CMAP.

Mercredi 6 juin 2018, 14h-17h

Sébastien Martineau (LMO) - Monotonie stricte du paramètre critique de percolation vis-à-vis de l’opération de quotient

Loïc de Raphélis (ENS Lyon) - Maximum global d'une marche aléatoire branchante & temps local maximal de la marche aléatoire sur un arbre de Galton-Watson en milieu aléatoire

Résumé de S. Martineau: La percolation est un modèle de propagation en milieu poreux qui a été introduit en 1957 par Broadbent et Hammersley. Un graphe G modélise la géométrie de la situation et un paramètre p rend compte de la porosité du milieu : la percolation consiste à indépendamment conserver chaque arête avec probabilité p, effacer les autres, et s'intéresser aux composantes connexes du graphe ainsi formé. Il y a alors une porosité critique : pour des porosités moindres, toutes les composantes sont finies presque sûrement, tandis que pour les porosités supérieures il y a au moins une composante infinie presque sûrement. Comment cette porosité dépend-elle du graphe considéré ? C'est une vaste question, qui s'avère liée à celle de déterminer le comportement précisément au point critique. On l'abordera ici sous l'angle suivant : on montrera que, sous des conditions raisonnables, quotienter un graphe augmente strictement la valeur de la porosité critique. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Franco Severo.

Résumé de L. de Raphélis: Nous considérons un arbre de Galton-Watson surcritique conditionné à survivre, dont les arrêtes sont pondérées par des variables aléatoires i.i.d. (formant ainsi un environnement aléatoire). Nous nous intéressons à la marche aléatoire aux plus proches voisins sur cet arbre, dont les probabilités de transition dépendent des poids des arrêtes, et considérerons le cas où la loi de l'environnement est tel que la marche aléatoire est récurrente nulle. 
L'objet de cet exposé sera de décrire le comportement des points favoris de la marche aléatoire, c'est-à-dire les sommets de l'arbre que la marche aléatoire a le plus visité au cours du temps. Plus précisément, nous montrerons que le temps local maximum de la marche aléatoire lors d'une excursion depuis la racine satisfait une équation en loi, et que ceci nous permet d'établir que ce maximum présente une queue de distribution de type Cauchy. En particulier, nous verrons que ce résultat est à mettre en parallèle avec le maximum de potentiel de l'environnement (qui est une marche aléatoire branchante), qui présente une queue de distribution à variation régulière.
Cet exposé s'appuiera sur un travail réalisé en collaboration avec Xinxin Chen (Université Lyon 1). 

 

Mercredi 4 juillet 2018, 14h-17h

François Golse (CMLS) - Dynamique quantique à N corps: limite de champ moyen et régime semiclassique

Sergio Simonella (E.n.s. Lyon) - Size of chaos in mean field dynamics

 


Séminaires passés:

Mercredi 20 décembre 2017, 14h-17h

Sarah Kaakai (CMAP) - Quelques problèmes liés à l’augmentation de l’hétérogénéité au sein des populations humaines : un exemple de modélisation trajectorielle et phénomènes d’agrégation.

Julien Claisse (CMAP) - Sur les liens en problèmes de contrôle stochastique et mesures quasi-stationnaires.

Résumé de S. Kaakai: Ces dernières années ont été marquées par un besoin de renouvellement des modèles démographiques traditionnels, suite à l'observation de nouvelles tendances en contradiction avec certaines idées établies. En effet, alors que la mortalité aux âges élevés continue diminuer à une vitesse sans précédent, un nombre croissant d'études rapportent un accroissement alarmant des écarts de mortalité et de santé au cours des dernières décennies.

Ce changement de paradigme, vers un monde de plus en plus hétérogène, complexifie significativement l’interprétation des données et pose de nombreux problèmes méthodologiques que les modèles traditionnels « macro » ne peuvent résoudre. Il apparaît donc nécessaire de revisiter un certain nombre de modèles à une échelle plus fine, afin de prendre en compte la complexité induite par l'hétérogénéité de la population et d'analyser ses effets au niveau agrégé. 

Dans cette présentation, nous reviendrons d'abord sur quelques problématiques générées par cette augmentation de l'hétérogénéité. Je présenterai ensuite un modèle stochastique de dynamique population hétérogène modélisant  les changements de composition au sein de la population. Lorsque l’échelle de temps de ces changements est supposée rapide par rapport à l'échelle de temps démographique, on montrera comment la dynamique agrégée peut-être approchée par une dynamique non-linéaire différente des modèles classiques, résultant d'une agrégation non triviale de taux de mortalité hétérogènes.

Résumé de J. Claisse: Dans ce travail, on considère des processus de branchement à temps continu qui sont contraints à s'éteindre presque sûrement. On étudie alors une nouvelle classe de problème de contrôle à horizon fini dont le but est de favoriser la survie, ou au contraire l'extinction, de la population. Dans un cas limite, on obtient une formulation équivalente du problème de contrôle sous la forme d'un problème d'optimisation dépendant des mesures quasi-stationnaires et des taux d'extinction des processus contrôlés. La démonstration de ce résultat repose, en particulier, sur la dérivation de l’équation de la programmation dynamique satisfaite par la fonction valeur du problème de contrôle et sur la convergence de la loi des processus contrôlés conditionnellement à la non-extinction vers une unique mesure quasi-stationnaire.

 

Mercredi 17 janvier 2018, 14h-17h

Michele Salvi (CMAP) - The Einstein Relation for the Variable-Range Hopping model.

Clément Foucart (LAGA, Univ. Paris 13) - Processus de branchement avec compétition en temps et en espace continu: Dualité et réflexion à l'infini.

Résumé de M. Salvi: The Mott Variable-Range Hopping model is considered in Physics as an accurate representation of electrical conduction in semiconductors. From the mathematical point of view, it represents a prominent example of reversible long-range random walks on random point processes, which generalize in several ways the classical random conductance model on the lattice. We ask ourselves how an external field influences the limiting velocity of the walk: So far, only very few models of biased random walks with trapping mechanisms have been rigorously studied. An accurate control of the invariant measure for the process from the point of view of the particle will remarkably allow us to go a step further and prove the Einstein Relation - the equivalence of mobility and diffusivity of the walk.

Résumé de C. Foucart: Nous nous intéressons au comportement aux frontières des processus de branchement logistiques. Grosso-modo, la dynamique du processus est celle d'un processus de branchement (en temps et espace continus) avec un terme de mort quadratique supplémentaire (A taux c>0, deux individus se battent et un seul en sort vivant). Je parlerai des questions suivantes: Est-il possible qu'un processus de branchement avec compétition explose (c'est-à-dire atteigne l'infini en un temps fini)? Lorsqu'il n'explose pas, peut-il être défini partant de l'infini (l'infini est alors un point d'entrée)? Et lorsqu'il explose? L'étude est basée sur une relation de dualité (dualité "au sens des systèmes de particules") entre les processus de branchement avec compétition et des diffusions de Feller généralisées.

 

Mercredi 21 février 2018, 14h-17h

Nicolas Champagnat (INRIA Nancy-Grand Est) - Une approche par grandes déviations pour les limites d'échelles d'EDP de la dynamique adaptative

Mathieu Rosenbaum (CMAP) - Théorèmes limites pour des processus de population quasi-instables et applications

Résumé de N. Champagnat: This is joint work with Benoît Henry (IECL, Université de Lorraine). We consider partial differential equations modeling adaptive evolution of a quantitative trait in a population in which mutations are due to a Laplace operator and selection is due to the competition for finitely many resources described by integrals of the population density. A small population and large time scaling of this equations gives rise to a Hamilton-Jacobi limit equation with constraints, first described by Diekmann, Jabin, Mischler, Perthame (2005). We use a probabilistic interpretation of the solution of the PDE as the expectation of a functional of Brownian paths, and large deviations estimates to provide a variational characterization of the limit Hamilton-Jacobi problem. This variational problem can be obtained under more general conditions than those known for the Hamilton-Jacobi limit to hold. In addition, the method can be applied to a large range of mutation operators. We detail the case of finite trait spaces with exponentially small rates of mutations, where uniqueness properties for the limit variational problem can be obtained in some particular cases.

 

Mercredi 14 mars 2018, 14h-17h

Pierre Montagnon (CMAP et INRA) - Un modèle SIR stochastique sur un graphe de populations

Justin Salez (Univ. Paris Diderot) - Temps de mélange et phénomène de cutoff pour la marche aléatoire sur des grands graphes aléatoires

Résumé de P. Montagnon: On étudie un modèle de propagation d'épidémies sur un graphe orienté dont les sommets représentent des populations. Les dynamiques démographiques (naissances, mouvements et morts) sont décrites par un processus de branchement multitype à temps continu avec immigration. L'épidémie peut se propager au sein de chaque noeud, et les mouvements individuels assurent sa propagation à l'échelle du graphe. On développe une méthode de calcul de la probabilité d'explosion de l'épidémie que l'on illustrera numériquement sur un exemple d'épidémie bovine. Enfin, on estimera la taille totale de l'épidémie dans le cas endémique stable.

Résumé de J. Salez: Le cutoff est une transition de phase remarquable dans la convergence de certaines chaînes de Markov vers leur loi stationnaire : la distance à l’équilibre passe brutalement de 1 à 0 lorsque le nombre d’itérations approche une valeur critique appelée temps de mélange. Découvert dans le contexte du mélange de cartes (Aldous-Diaconis, 1986), ce phénomène est désormais rigoureusement établi pour de nombreuses chaînes réversibles. Dans cet exposé, nous considèrerons le cadre non-réversible des marches aléatoires sur des grands graphes dirigés aléatoires, pour lesquels la loi stationnaire elle-même est loin d’être comprise.

 

Mercredi 11 avril 2018, 14h-17h

Aurélia Deshayes (LPSM, Paris) - Front du modèle FA-1f en dimension 1

Hélène Guérin (IRMAR, Rennes) - Comportement en temps long du processus Zig-Zig et applications

Résumé d'A. Deshayes: Le modèle de Fredrickson-Andersen one spin facilitated est un modèle cinétiquement contraint: chaque site met à jour la valeur de son spin si une certaine contrainte locale est satisfaite, ici c’est le fait d’avoir au moins un 0 dans ses voisins. Les modèles cinétiquement contraints ont la particularité d’être non attractifs ce qui rend leur étude complexe, notamment pour étudier les résultats de forme. Les méthodes classiques de sous-additivité ne s’appliquent pas. Dans un travail en collaboration avec Oriane Blondel et Cristina Toninelli nous montrons que le front du modèle FA en 1d, i.e. le 0 le plus à gauche lorsqu’on part d’une configuration initiale avec que des 1 à gauche de l’origine et un 0 en l’origine, a bien une vitesse linéaire, et des fluctuations gaussiennes, et ce pour un paramètre q de densités de 0 supérieur à un certain seuil.

Résumé d'H. Guérin: De nombreux travaux ont été publiés dernièrement sur le processus Zig-Zag, qui peut-être vu comme une généralisation du processus du télégraphe. Ce processus stochastique est un processus de Markov déterministe par morceaux, notamment utilisé pour modéliser le comportement d’une bactérie dans son environnement (chimiotaxie). Je vais présenter différents travaux récents sur le comportement en temps long de ce processus et les techniques utilisées. En plus, de modéliser un phénomène biologique, ce processus peut aussi être utilisé pour construire des méthodes MCMC pour le calcul approché d'intégrales.

 

Du 2 au 4 mai 2018 : Deuxième rencontre Paris-Berlin "Stochastic Analysis with Applications in Biology and Finance" (co-organisée par le CMAP)