Groupe de travail PEIPS
Les séances du groupe de travail ont généralement lieu en salle Jean Lascoux du CPhT (RDC de l'aile 0), mais exceptionnellement dans la salle Louis Michel, aussi du CPhT (RDC du bâtiment 6).
Pour tout renseignement, contacter les gentils organisateurs : Cyril Marzouk et Milica Tomasevic.
À partir de janvier 2023, les séminaires se coordonnent : les même jours, le pôle analyse organise son séminaire juste après (dans la même salle). N'hésitez pas à regarder le programme qui peut vous intéresser.
Indications pour rejoindre le CMAP :
Le CMAP se trouve dans l'aile 0, au nord-ouest du campus. L'entrée (et la sortie) des bâtiments des laboratoires nécessite un badge d'accès. Depuis Paris en RER, deux choix sont possibles :
1° Le plus sûr : depuis la gare RER Lozère, prendre les escaliers et traverser le campus jusqu'à l'aile 0. Vous pouvez suivre par exemple ce chemin. Le bâtiment est le plus loin (derrière une petite fosse), reconnaissable par le grand « 0 » dessus.
2° Autre alternative : depuis la gare RER Massy-Palaiseau, prendre le bus 91-06 ou 91-10. Descendre soit à l'arrêt Polytechnique Lozère en haut des escalier qui mènent au RER et suivre le chemin indiqué ci-dessus, ou bien descendre deux arrêts plus loin, à l'arrêt Marguerite Perey, regarder vers l'arrière du bus pour apercevoir le bâtiment Thalès et marcher dans cette direction jusqu'à l'aile 0. Voir le plan ici.
Séances à venir (2022-23) :
Programme prévisionnel
Mardi 21 mars 2023, 10h-11h (salle Jean Lascoux, aile 0 RDC) :
Lucas Gerin (CMAP) - Graphes denses aléatoires : un exemple de limite fractale
Résumé : Dans les années 2000, une théorie des limites de graphes denses vers des graphes « continus » (aussi appelés « graphons ») a émergé, initiée notamment par Lovasz. Cette théorie a été étendue aux graphes denses aléatoires (sous l'impulsion de Diaconis et Janson), mais il existe très peu d'exemples où la limite est elle-même aléatoire. L'objectif de cet exposé est de présenter un « graphon Brownien » qui est la limite d'une famille de graphes aléatoires uniformes naturels : les cographes.
(Basé sur des travaux avec Frédérique Bassino, Mathilde Bouvel, Valentin Féray, Mickaël Maazoun, Adeline Pierrot.)
Mardi 4 avril 2023, 10h-11h (salle Jean Lascoux, aile 0 RDC) :
Clément Foucart (Université Sorbonne Paris Nord) -
Résumé :
Mardi 18 avril 2023, 10h-11h (salle Jean Lascoux, aile 0 RDC) :
Nastassia Pouradier Duteil -
Résumé :
Mardi 9 mai 2023, 10h-11h (salle Jean Lascoux, aile 0 RDC) :
Vlad Bally -
Résumé :
Mardi 23 mai 2023, 10h-11h (salle Jean Lascoux, aile 0 RDC) :
-
Résumé :
Mardi 6 juin 2023, 10h-11h (salle Jean Lascoux, aile 0 RDC) :
Niccolò Torri (Université Paris Nanterre) -
Résumé :
Mardi 20 juin 2023, 10h-11h (salle Jean Lascoux, aile 0 RDC) :
-
Résumé :
Séminaires passés (2022-23) :
Mardi 7 mars 2023, 10h-11h (salle Jean Lascoux, aile 0 RDC) :
Séance annulée.
Mardi 21 février 2023, 10h-11h (salle Jean Lascoux, aile 0 RDC) :
Ludovic Goudenège - Construction de solutions d'équations stochastiques avec des dérives singulières et des bruits fractionnaires
Résumé : Dans une équation de réaction-diffusion stochastique modélisant, par exemple, le comportement d'une population, on est amené à ajouter des termes de réflexions ou des changements de comportement sur des zones spatiales pour rester conforme aux limites physiques du phénomène. Toutefois, l'introduction de ces dérives singulières pose des problèmes pour l'existence et l'unicité de solutions, mais également vis-à-vis de l'interprétation des trajectoires des solutions.
Dans cet exposé, je souhaite montrer comment construire des solutions fortes de telles équations via un schéma numérique permettant notamment de récupérer une interprétation des trajectoires. Mais dans un souci d'éviter de détailler le cas complexe, je montrerai simplement comment on peut appréhender la démonstration via la même construction sur des équations différentielles stochastiques avec des dérives très singulières (comme des distributions d'ordre négatif). On verra comment les fluctuations rapides des termes aléatoires sont responsables d'un phénomène de régularisation par le bruit. Tout l'exposé sera illustré par plusieurs simulations numériques.
Mini-cours de Charles Bordenave : Spectre de graphes aléatoires parcimonieux : focus sur la percolation quantique et la délocalisation des vecteurs propres
Tout en amphi Becquerel :
- 1ère séance : mardi 31 janvier 14h-15h30
- 2ème séance : mercredi 1er février 13h30-16h
- 3ème séance : jeudi 2 février 10h-12h
Le cours se conclura par un exposé de Charles au colloquium, toujours en amphi Becquerel, le jeudi 2 à 13h30.
Mardi 24 janvier 2023, 10h-11h (salle Jean Lascoux, aile 0 RDC) :
Séance annulée.
Mardi 10 janvier 2023, 10h-11h (salle Jean Lascoux, aile 0 RDC) :
Katharina Eichinger (CMAP) - Autours des barycentres (régularisés) dans l'espace Wasserstein
Résumé : Dans cet exposé, je vais parler de barycentres dans l'espace de Wasserstein (ou simplement barycentre Wasserstein). Le barycentre Wasserstein correspond à la moyenne de Fréchet d'une loi à valeurs dans l'espace des mesures de probabilité muni de la distance de Wasserstein. Pour cela je vais commencer par introduire le transport optimal et la distance de Wasserstein. Grâce à ces outils, je vais donner un aperçu de quelques propriétés analytiques du barycentre Wasserstein. Finalement, étant donnés des échantillons i.i.d. d'une loi sur l'espace des mesures, je vais parler des propriétés de convergence de la version empirique du barycentre vers le barycentre par rapport à cette loi.
Lundi 28 novembre 2022, 11h-12h (salle Louis Michel, bât. 6 RDC) :
Aurélien Velleret - Modèles SIS d'épidémies sur les graphons et les réseaux aléatoires: justification d'un système dynamique de dimension infinie depuis des représentations individu-centrées
Résumé : En partant d'une description stochastique individu-centrée d'une épidémie de type SIS se propageant sur un réseau aléatoire fixé dans le temps, nous nous intéressons à la dynamique lorsque la taille du réseau tend vers l'infini. Nous retrouvons à la limite une équation intégro-différentielle infini-dimensionnelle étudiée par Delmas, Dronnier et Zitt (2022) pour une épidémie de type SIS se propageant sur un graphon. Notre travail couvre le cas des graphes denses et parcimonieux, lorsque le nombre d'arêtes est d'ordre 0(n^a) avec a ∈ ]1, 2], mais pas le cas des graphes très peu denses avec a = 1. Comme ingrédient crucial pour notre théorème limite, je présenterai les propriétés clés d'un couplage entre le processus d'intérêt et une épidémie se propageant sur le graphe complet avec une infectivité modifiée.
Mardi 15 novembre 2022, 16h-17h30 (salle Jean Lascoux, aile 0 RDC) :
Milica Tomasevic - On a singularly interacting non-Markovian particle system related to the doubly parabolic Keller-Segel system
Résumé : We consider a stochastic system of N particles in R^2 with singular and non Markovian interaction (the drift term depends on all the past of all the particles). It comes as a microscopic counterpart of the doubly parabolic Keller-Segel model for chemotaxis.
When the chemotactic sensitivity parameter of the model is sufficiently small, we show that this particle system indeed exists for any N ≥ 2, we show tightness in N of its empirical measure, and that any weak limit point of this empirical measure, as N → ∞, solves some nonlinear martingale problem. This in particular implies that its family of time-marginals solves the parabolic-parabolic Keller-Segel system R^2. The main argument of the proof is a "markovianisation" of the interaction kernel: analyzing the particle trajectories, we show that in some loose sense the two-by-two interaction that depends on the past can be controlled by a singular two-by-two interaction that depends only on the present position of the particles and is of the same order as the Coulomb interaction in R^2.
This is a joint work with N. Fournier (LPSM).
Mardi 11 octobre 2022, 16h-17h30 (salle Jean Lascoux, aile 0 RDC) :
Quentin Cormier - Synchronisation dans un modèle Kuramoto de jeu à champ moyen
Résumé : Je présenterai une version jeu à champ moyen du modèle de Kuramoto. Le modèle de Kuramoto permet d'étudier la synchronisation d'oscillateurs en interaction. Dans cette version jeu à champ moyen, les oscillateurs contrôlent leur phase, et cherchent à minimiser un coût posé sur un horizon de temps infini. On s'intéresse aux solutions stationnaires et à leur stabilité. On montre l'existence d'une transition de phase. En dessous d'un certain paramètre critique, on montre que les agents se désynchronisent : la distribution des agents converge, en temps long, vers la mesure uniforme. Au dessus de ce paramètre critique, le jeu bifurque et on montre l'existence de solutions auto-organisées, correspondants à des solutions stationnaires non-triviales.
Il s'agit d'un travail réalisé en collaboration avec René Carmona et Mete Soner.
Séminaires passés (2021-22) :
Mercredi 22 juin 2022, 10h-12h30 (salle de conf. CMAP) :
Sylvie Méléard - Pour combler le fossé entre les modèles d’évolution: des individus-centrés aux équations de Hamilton-Jacobi
Résumé de S. Méléard : Nous considérons un modèle stochastique pour l'évolution d'une population discrète structurée par un trait dont les valeurs sont sur une grille finie du tore, et avec mutation et sélection. Les traits sont hérités verticalement à moins qu'une mutation ne se produise, et influence les taux de naissance et de mort. Nous nous concentrons sur une échelle de paramètres où la population est grande, les mutations individuelles sont petites mais pas rares, et la maille de la grille pour les valeurs des traits est beaucoup plus petite que la taille des pas de mutation. Lorsque l'on considère l'évolution de la population sur une longue échelle de temps, la contribution de petites sous-populations peut fortement influencer la dynamique. Notre résultat principal quantifie la dynamique asymptotique de la taille des sous-populations sur une échelle logarithmique. Nous établissons que le logarithme du processus stochastique de la taille de la population, convenablement normalisé, converge vers l'unique solution de viscosité d'une équation de Hamilton-Jacobi. De telles équations de Hamilton-Jacobi ont déjà été dérivées d'équations intégro-différentielles paraboliques et ont été largement développées dans l'étude de l'adaptation de caractères quantitatifs. Notre travail fournit une justification de ce cadre directement à partir d'un modèle stochastique basé sur les individus, conduisant à une meilleure compréhension des résultats obtenus dans cette approche.
La preuve fait appel à des principes du maximum presque sûrs et à des contrôles minutieux des parties de martingales.
Jeudi 12 mai 2022, 10h-12h30 (salle Jean Lascoux) :
Marie Théret (Modal'X, Université Paris Nanterre) - Comportement au 1er ordre de la constante de temps dans un modèle de percolation de premier passage de Bernoulli
&
Nathael Gozlan (MAP 5, Université de Paris Université Paris Cité) - Transport, entropie et produit volumique des corps convexes
Résumé de M. Théret : Dans le modèle de percolation de premier passage sur $\mathbb{Z}^d$, on associe aux arêtes du graphe une famille de variables i.i.d. positives, représentant le temps aléatoire nécessaire pour traverser chaque arête. Il s’agit d’un modèle jouet pour étudier des phénomènes de propagation sur un réseau. La vitesse asymptotique moyenne de propagation dans une direction $v$ est donnée par l’inverse d'une constante $\mu(v)$ (qui dépend de la direction $v$, de la dimension $d$ et de la loi des temps de traversée d’arête) qu’on appelle constante de temps. Les théorèmes ergodiques sous-additifs nous assurent l’existence d’une telle vitesse asymptotique moyenne, mais ne nous permettent pas de calculer sa valeur. Pour des lois de temps de traversées d’arêtes générales, on ne sait en fait que très peu de choses sur la valeur de $\mu(v)$.
Résumé de N. Gozlan : Le produit volumique d'un corps convexe symétrique $K$ est le produit du volume de $K$ par le volume du polaire de $K$. Ce produit volumique est maximal pour la boule euclidienne (inégalité de Santalo) et il est conjecturé qu'il est minimal pour la boule $B_\infty$ (conjecture de Mahler). Le but de l'exposé sera de présenter des formes équivalentes faisant intervenir le transport optimal quadratique et l'entropie de Shannon des inégalités de Santalo directes et réciproques. Nous verrons en particulier que la conjecture de Mahler est équivalente à un contrôle du déficit dans l'inégalité de Sobolev logarithmique pour la mesure gaussienne standard. Si le temps le permet nous présenterons une preuve simple utilisant des arguments de transport de ces inégalités transport-entropie en dimension 1. Travaux en collaboration avec M. Fradelizi et S. Zugmeyer.
Jeudi 21 avril 2022, 10h-12h30 (salle Jean Lascoux) :
Sophie Hecht (LJLL, Sorbonne Université) - Modèles microscopiques et macroscopiques pour la croissance de colonies de bactéries
&
Christophe Profeta (LaMME, Université d'Évry) - Valeurs extrêmes pour certains processus de Lévy branchants
Résumé de S. Hecht : Les bactéries sont des organismes abondants qui participent à de nombreux processus intervenant en médecine, agriculture, écologie, dans l’industrie, etc. À partir d’un seul organisme, elles se développent rapidement en micro-colonies organisées et en bio-films. La formation des micro-colonies, bien que largement étudiée au cours de la dernière décennie, est encore mal comprise. On considérera d’abord un modèle microscopique où chaque bactérie est modélisée par un cylindre à base circulaire (un bâtonnet) et où les bactéries interagissent par le biais de contraintes de non chevauchement. En prenant en compte l’asymétrie des pôles des bactéries, le modèle reproduit des caractéristiques mécaniques de croissance de micro-colonies, et ceci sans mettre en œuvre ni attraction ni adhésion. Nous étudierons ensuite la limite micro-macro et la limite incompressible de ce type de modèles. Ces limites conduisent à des modèles macroscopiques mécaniques ainsi qu’à des modèles à frontière libre qui seront comparés à des données expérimentales.
Résumé de C. Profeta : Nous considérons un processus de branchement markovien en temps continu dans lequel les particules évoluent indépendamment comme des processus de Lévy. Lorsque le mécanisme de branchement est critique ou sous-critique, le processus s'éteint presque sûrement et l'on peut définir son maximum global, c'est-à-dire la position maximale jamais atteinte par une particule. Nous présenterons dans cet exposé des estimées asymptotiques de la fonction de survie de ce maximum lorsque le processus de Lévy sous-jacent est soit stable, soit spectralement négatif.
Jeudi 07 avril 2022, 10h-12h30 (salle Jean Lascoux) :
Fanny Augeri (LPSM, Université de Paris Université Paris Cité) - Fluctuations du polynôme caractéristique de matrices de Jacobi aléatoires
&
Pierre Monmarché (LJLL, Sorbonne Université) - Métastabilité pour un système de neurones en interaction
Résumé de F. Augeri : Le polynôme caractéristique d'une matrice aléatoire hermitienne induit naturellement un champ aléatoire sur la droite réelle. Dans le cas de matrices aléatoires hermitiennes gaussiennes (GUE), il est attendu que ce champ ait une structure de corrélation très particulière : le logarithme de ce champ est log-corrélé, et son maximum est cœur d'une conjecture de Fydorov et Simm prédisant sa distribution limite. Comme premier pas dans cette direction, nous avons obtenu en collaboration avec R. Butez et O. Zeitouni un théorème central limite pour le logarithme du polynôme caractéristique de matrices de GUE, ainsi que pour une certaine classe de matrices de Jacobi aléatoires. Dans cet exposé, j'expliquerai comment le modèle tridiagonal associé aux matrices du GUE et certaines techniques de la théorie des polynômes orthogonaux permettent d'analyser les fluctuations du polynôme caractéristique.
Résumé de P. Monmarché : On considère un système de N neurones, dont le potentiel de membrane évolue selon une dynamique de type interaction champ moyen. Plus précisément, pour chaque neurone, ce potentiel décroît à taux constant, et d'autre part est mis à zéro lorsque le neurone se décharge (émet un spike), ce qui entraîne également une augmentation du potentiel de tous les autres neurones. Les spike surviennent à des temps aléatoires, à un taux lamba(u) qui dépend du potentiel de membrane u. Quand lambda(u) est nul en 0 et dérivable alors, quelque soit N, le système s'arrête presque sûrement en temps fini, c'est-à-dire qu'il n'y aura qu'un nombre fini de spike, suivi d'une décroissance déterministe du système vers 0. On verra que, sous certaine condition, le système est néanmoins métastable, au sens où les points suivants sont satisfaits : 1) le système non-linéaire limite (N->infini) converge vers un unique équilibre non nul ; 2) le temps d'extinction d'un système fini de N neurones est exponentiellement grand en fonction de N ; 3) le potentiel moyen du système s'approche rapidement d'une valeur positive constante, et les temps de sortie de voisinages de cette valeur convergent (quand N->infini) vers la loi exponentielle (caractère sans mémoire, imprévisible de ces déviations du comportement limite). Les démonstrations repose sur des méthodes de couplage. Travail en collaboration avec Eva Löcherbach.
Jeudi 24 mars 2022, 10h-12h30 (salle Jean Lascoux) :
Mini-cours de Giovanni Conforti - Propriété de turnpike en contrôle stochastique
Résumé : La propriété de turnpike est un principe général en contrôle affirmant que les solutions optimales des problèmes de contrôle dynamiques restent pour la plupart du temps exponentiellement proches d'un point d'équilibre, qu'on appelle le turnpike. Le but de ce mini-cours est de donner une introduction au problème d'établir quantitativement la propriété de turnpike en contrôle stochastique. Je commencerai par illustrer différents mécanismes qui peuvent être à l'origine de ce phénomène, et quelles sont les différences fondamentales entre problèmes stochastiques et problèmes déterministes. Je finirai par donner quelques idées sur un approche par couplage qui permet d'obtenir des estimations explicites du taux de convergence.
Jeudi 10 mars 2022, 9h30-12h (salle Jean Lascoux) :
Mini-cours de Charles Bertucci - Une introduction aux jeux à champ moyen
Résumé : Je présenterai dans un premier temps certains aspects fondamentaux de la théorie des jeux à champ moyen : caractérisation des équilibres, existence, unicité, concept de valeur. Je passerai ensuite en revue différentes approches concernant cette théorie, en particuliers comment elle s'inscrit dans le paysage mathématique actuel.
Jeudi 10 février 2022, 9h30-12h (salle Jean Lascoux) :
Nicolas Broutin (LPSM, Sorbonne Université) - Minorants convexes du brownien et l’arbre brownien parabolique
&
Nathanaël Enriquez (IMO, Université Paris Saclay) - Menhirs aléatoires dans des déserts poissoniens
Résumé de N. Broutin : J'introduirai une famille d’arbres construits à partir des minorants convexes de processus browniens. Ce point de vue permet de faire une construction explicite de la limite d’échelle de l’arbre couvrant minimum d’un graphe complet, mais aussi de faire des calculs notamment de la dimension de Hausdorff notamment. Sur la route, nous montreront que ce procédé permet aussi d’expliquer certains liens entre d’autres objets remarquables comme les fragmentations de l’arbre continu Brownien.
Travail en collaboration avec J.-F. Marckert.
Résumé de N. Enriquez : le diagramme de Voronoi dans les zones désertiques d'un processus de Poisson donne lieu a des cellules très allongées dont nous étudions la convergence après renormalisation convenable. (Travail en commun avec Pierre Calka et Yann Demichel).
Mercredi 26 janvier 2022, 13h30-16h (salle de conf. CMAP) : sur Zoom
David Garcia-Zelada (LPSM, Sorbonne Université) - Large deviations for empirical measures
&
Titus Lupu (LPSM, Sorbonne Université) - Chaos multiplicatifs des soupes de boucles browniennes
Résumé de D. Garcia : We will be interested in a model of n interacting particles at equilibrium. Its macroscopic behavior as n grows to infinity will be studied by injecting, modulo permutations, the n-particle space into the space of probability measures. More specifically, we can prove a Laplace principle or, equivalently, a large deviation principle which implies, in some cases, an almost sure convergence to a deterministic probability measure. Among the usual models we can find the eigenvalue distribution of Gaussian random matrices and the roots of Gaussian random polynomials but the result allows us to study Coulomb gases on Riemannian manifolds as well.
Résumé de T. Lupu : Je présenterai un travail réalisé en collaboration avec Elie Aïdékon, Nathanael Berestycki et Antoine Jégo. Nous construisons des mesures aléatoires à partir de processus de Poisson de boucles browniennes en dimension 2. Ses mesures sont supportées sur des points exceptionnels qui sont des intersections d'une infinité de boucles différentes, et sont de multiplicité infinie pour chacune d'entre elles. De plus ces mesures sont conformément covariantes en loi. Pour un paramètre d'intensité particulier du Poisson, la mesure que l'on obtient est étroitement liée au chaos multiplicatif gaussien. Ceci provient d'une représentation du champ libre gaussien par boucles browniennes due à Yves Le Jan. Pour d'autres paramètres d'intensité du Poisson, on peut voir les mesures que l'on construit comme des chaos multiplicatifs non-gaussiens, qui ont beaucoup de propriétés en commun avec le chaos multiplicatif gaussien.
Mercredi 12 janvier 2022, 13h30-16h (salle de conf. CMAP) : ANNULÉ
Mini-cours de Giovanni Conforti
Vendredi 17 décembre 2021, 9h30-12h (salle de conf. CMAP) :
Alice Contat (IMO, Université Paris Saclay) - Parking on Cayley trees, Frozen Erdős–Rényi… and planar maps?
&
Robin Khanfir (LPSM, Sorbonne Université) - Limite d'échelle de marches branchantes critiques à valeurs dans un arbre
Résumé d'A. Contat : Consider a uniform Cayley tree $T_n$ with $n$ vertices and let $m$ cars arrive sequentially, independently, and uniformly on its vertices. Each car tries to park on its arrival node, and if the spot is already occupied, it drives towards the root of the tree and park as soon as possible. Using combinatorial enumeration, Lackner & Panholzer established a phase transition for this process when $m$ is approximately $n/2$. We couple this model with a variation of the classical Erdős–Rényi random graph process. This enables us to completely describe the phase transition for the size of the components of parked cars using a modification of the standard multiplicative coalescent which we named the frozen multiplicative coalescent. If time permits, I will also describe a new method to enumerate maps that is inspired from Lackner–Panholzer decomposition of fully parked trees.
The talk is partially based on joint work with Nicolas Curien.
Résumé de R. Khanfir : Les marches branchantes peuvent se voir comme une marche aléatoire indexée par un arbre. Plus précisément, une marche branchante est un arbre (la généalogie) dont chaque sommet (individu) se voit attribuer une position dans l'environnement, de manière à ce que les positions des enfants d'un individu $u$ soient indépendantes et choisies selon une probabilité de transition $p(x,.)$, conditionnellement à ce que la position de $u$ soit $x$. Ici, on se place dans le cas où la généalogie est un arbre de Galton-Watson critique conditionné à avoir $n$ sommets et où l'environnement est un arbre $d$-régulier. De plus, les transitions sont telles que depuis chaque site de l'environnement, on a probabilité $1/2$ de descendre sur le parent et probabilité $1/(2d)$ de monter sur l'un des $d$ enfants. On étudie alors le sous-arbre $R_d(n)$ de tous les sites visités par la marche branchante. On démontre une loi des grands nombres pour $\# R_d(n)$ et l'existence d'une limite d'échelle en loi pour $R_d(n)$, quand $n$ tend vers l'infini. Cet objet limite est un arbre continu compact aléatoire appelé cactus Brownien, qui a été présenté par N. Curien, J-F. Le Gall, et G. Miermont.
(Travail en commun avec Thomas Duquesne, Shen Lin, et Niccolò Torri.)
Vendredi 03 décembre 2021, 9h30-12h (salle Jean Lascoux) :
Zoé Agathe-Nerine (MAP5, Université de Paris) - Dynamiques de neurones et processus de Hawkes avec interaction spatiale sur des graphes aléatoires
&
Yoan Tardy (LPSM, Sorbonne Université) - Collisions du système de particules de Keller-Segel dans le cas surcritique
Résumé de Z. Agathe-Nerine : Les neurones sont les constituants élémentaires du système nerveux, comme cellules spécialisées dans la réception, l'intégration et la transmission d'informations. Lorsqu'un neurone reçoit de l'information, si celle ci est suffisante le neurone réagit selon une loi de tout ou rien en produisant un potentiel d'action dit spike, lui même transmis jusqu'aux neurones avec qui ce neurone communique et déclenchant potentiellement d'autres spikes. On considère ainsi une population de $N$ neurones en interaction, modélisée par un processus de Hawkes multivarié : chaque neurone s'excite avec une intensité qui dépend du passé des neurones lui étant connectés. L'interaction entre les neurones se fait selon la réalisation d'un graphe aléatoire, où la probabilité de présence de chaque arête dépend de la position spatiale des neurones concernés. Nous étudions le comportement limite de ce modèle en grande population, et nous regardons comment l'inhomogénéité spatiale des interactions influence le comportement en temps long.
Résumé de Y. Tardy : Nous étudions un système de particules naturellement associé à l'équation de Keller-Segel bidimensionnelle. Il est constitué de $N$ particules browniennes dans le plan, interagissant par une attraction binaire en $\theta/(Nr)$, où $r$ représente la distance entre deux particules. Lorsque l'intensité $\theta$ de cette attraction est supérieure à 2, ce système de particules explose en temps fini. Nous supposons que $N>3\theta$ et étudions en détail ce qu'il se passe près de l'explosion. Il existe deux scénarios légèrement différents, selon les valeurs de $N$ et $\theta$, en voici un : à l'explosion, un amas constitué précisément de $k_0$ particules émerge, pour un certain $k_0 \ge 7$ déterministe dépendant de $N$ et $\theta$. Juste avant l'explosion, il y a une infinité de collisions de $k_0-1$ particules. Il y a également une infinité de collisions de $k_0-2$ particules avant chaque collision de $k_0-1$ particules. De plus, il y a une infinité de collisions binaires avant chaque collision de $k_0-2$ particules. Enfin, les collisions de sous-ensembles de $3, \ldots, k_0-3$ particules ne se produisent jamais. L'autre scénario est similaire, sauf qu'il n'y a pas de collisions de $k_0-2$ particules.
Mercredi 10 novembre 2021, 13h30-16h (salle de conf. CMAP) :
Laure Dumaz (DMA, ÉNS) - Localisation de l'hamiltonien continu d'Anderson en 1-d et sa transition vers la délocalisation
&
Paul Dario (IHES) - Surfaces aléatoires avec un champ aléatoire
Résumé de L. Dumaz : Dans cet exposé, nous nous intéresserons à l’étude spectrale de l'opérateur aléatoire de Schrödinger -d^2/d^x^2 + B'(x) sur un intervalle de taille L où le potentiel B' est un bruit blanc. Autour d'énergies plus petites que L, nous montrons que les valeurs propres se distribuent comme un processus ponctuel de Poisson et les vecteurs propres associés se localisent lorsque L tend vers l'infini. La transition vers la délocalisation se produit pour les grandes valeurs propres d'ordre L. Nous décrivons dans ce régime la convergence au niveau des opérateurs. L'opérateur limite prend une forme simple qui apparaissait comme conjecture dans des travaux de Edelman Sutton (2006) pour certaines matrices aléatoires. Travaux en collaboration avec Cyril Labbé.
Résumé de P. Dario : En 1975, les physiciens Imry et Ma ont prédit que l'incorporation d'un champ aléatoire à des systèmes de spins en petite dimension entrainait une disparition des transitions de phase du premier ordre. Ces prédictions ont été établies rigoureusement par Aizenman et Wehr en 1989 pour des systèmes de spins généraux, et récemment quantifiées dans le cas du modèle d'Ising avec un champ aléatoire. Alors que le phénomène de Imry-Ma a été principlament étudié dans le cas des espaces de spins compacts, il a été observé qu'un effet similaire se produit pour certains modèles de surfaces aléatoires. Dans cet exposé, nous présenterons comment les propriétés qualitatives de ces modèles sont affectées par l'incorporation d'un champ aléatoire et discuterons quelques questions ouvertes.
(2019-20)
Jeudi 2 avril 2020, 10h00-12h30, en salle de conférence Lascoux (CPHT, aile 0 des laboratoires) ANNULE
10h00 - Laurent Tournier (Univ. Paris-Nord)
11h00 - Benjamin Hellouin (Univ. Paris-Sud)
Mercredi 4 mars 2020, 14h00-17h00
14h00 - Vincent Bansaye (CMAP) et Pierre Gabriel (UVSQ) - Contraction pour des semigroupes non conservatifs et estimées quantitatives pour des edp linéaires
Résumé de l'exposé double: Vincent Bansaye fera une introduction à l'analyse des semigroupes positifs, et évoquera un lien avec des semigroupes apparaissant dans l'étude de processus stochastiques. Enfin, il développera une méthode de contraction. Pierre Gabriel décrira les liens entre ces résultats de contraction et la théorie spectrale des opérateurs. Il appliquera ensuite ces résultats à des EDP linéaires non-locales issues de modèles de croissance de population. Ces résultats sont issus en particulier d'une collaboration des orateurs avec Bertrand Cloez et Aline Marguet.
Jeudi 30 janvier 2020, 14h00-17h00, en salle de conférence Lascoux (CPHT, aile 0 des laboratoires)
14h00 - Marc Lelarge (Inria et E.n.s. Paris) - An introduction to deep learning on graphs
15h30 - Clément Mantoux (CMAP) - Une introduction au gradient stochastique
Jeudi 21 novembre 2019, 14h00-17h00 en salle de conférence Lascoux (CPHT, aile 0 des laboratoires)
14h00 - Céline Duval (Univ. Paris Descartes) - Lipschitz-Killing curvatures of excursion sets for two-dimensional random fields
15h30 - Vincent Vargas (E.n.s. Paris) - A probabilistic approach of ultraviolet renormalisation in the boundary Sine-Gordon model
Résumé de C. Duval: We study three geometrical characteristics for the excursion sets of a 2-dimensional standard (centered and unit variance) stationary isotropic random field X. These characteristics can be estimated without bias if the field satisfies a kinematic formula, such as a smooth Gaussian field or some shot noise fields. If the field is Gaussian, we show how to remove the constraining assumption that the field is standard and adapt the previous estimators. We illustrate how these quantities can be used to recover some parameters of X and perform testing procedures. Finally, we use these tools to built a test to determine if two images of excursion sets can be compared. This test is applied on both synthesized and real mammograms.
Résumé de V. Vargas: The Sine-Gordon model is a celebrated model of 2d quantum field theory based on the quantization of a cosine interaction term. Though the model has been studied by numerous authors, it is fair to say that a complete mathematical picture is still lacking. In this talk, I will present a novel probabilistic approach to renormalization of the boundary Sine-Gordon model. This new approach, which is based on modern stochastic calculus and a new formula for the cumulants of a random variable (which could be of independent interest), enables to define the correlations of the model in a robust way. Based on a work with H. Lacoin, R. Rhodes.
Jeudi 3 octobre 2019, 14h00-17h30
(Préambule organisation de l'année)
14h30 - Benoît Dagallier (CMAP) - Grandes déviations pour une dynamique d'interface sur $Z^2$
16h00 - Sylvie Roelly (Univ. de Potsdam) - Des ponts, des vrais et des faux
(2018-19)
Jeudi 13 juin 2019, 14h-17h
Nicolas Fournier (LPSM) - Sur les particules pour Keller-Segel
Milica Tomasevic (CMAP) - Modélisation de la croissance d'un réseau organisé : le cas de champignons filamenteux
Résumé de N. Fournier: On étudiera un système de particules stochastiques, vivant dans le plan, s'attirant deux à deux suivant une force singulière (en 1/|x|). Suivant l'intensité de la force, il peut, informellement, se former ou non un amas. On montrera l'existence pour ce système de particules dans le cas sous-critique, puis la compacité (en le nombre de particules), et que tout point limite est bien solution de l'équation, dans le cas "très" sous-critique. On discutera aussi de l'unicité et, de manière informelle, du cas surcritique.
Mercredi 15 mai 2019, 14h-17h
Jaime San Martin (Univ. de Chile) - Uniqueness for a system of SDE, in the context of scaling limits of Galton-Watson with sex
Lea Popovic (Univ. of Concordia) - Stochastic co-existence in an evolutionary game model
Résumé de J. San Martin: lien vers pdf
Résumé de L. Popovic: In a stochastic evolutionary game the species relative fitnesses guides the evolutionary dynamics with fluctuations due to random drift. A selection advantage which depends on a changing environment will introduce additional possibilities for the dynamics. We analyse a simple model in which a random environment allows competing species to coexist for a long time before a fixation of a single species happens. In our analysis we use stability in a linear combination of competing species to approximate the stochastic dynamics of the system by a diffusion on a one dimensional co-existence region. Our method significantly simplifies calculating the probability of first extinction and its expected time, and demonstrates a rigorous model reduction technique for evaluating quasi-stationary properties of stochastic evolutionary dynamics.
Jeudi 11 avril 2019, 10h-13h
Barbara Dembin (LPSM) - Annulation de la constante isopérimétrique ancrée de percolation en $p_c$
Quentin Berger (LPSM) - Percolation de Dernier Passage avec constraintes et applications aux polymères en environnement aléatoire
Résumé de B. Dembin: Considérons une percolation i.i.d surcritique sur Z^d, chaque arête est ouverte avec probabilité p>p_c, où p_c représente le paramètre critique. Conditionnons par l'événement "0 appartient au cluster infini" et considérons les graphes connectés contenant 0 et au plus n^d sommets. Parmi ces graphes, nous nous intéressons à ceux qui minimisent le ratio isopérimétrique (surface sur volume) et nous notons ce ratio ϕ_n(p). La quantité nϕ_n(p) converge lorsque n tend vers l'infini vers une constante déterministe strictement positive, il s'agit de la constante isopérimétrique ancrée. En étendant la définition de ϕ_n(p) pour p=p_c, nous prouvons que, si la limite quand n tend vers l'infini de nϕ_n(p_c) existe, alors celle-ci vaut 0. Travail réalisé en collaboration avec Raphaël Cerf.
Résumé de Q. Berger: Le problème de Percolation de Dernier Passage (PDP) de Hammersley peut être décrit de la manière suivante: soient m points pris uniformément et indépendamment dans [0,1]^2, quel est le nombre maximal de points qui peuvent être visités par un chemin dirigé vers la droite et le haut. Dans cet exposé, j’introduirai une généralisation de ce problème, où la condition vers la droite et le haut est remplacée par une condition globale sur le chemin. Les résultats pour ce problème de PDP avec contrainte sont pour l’instant peu nombreux, mais ils possèdent déjà des applications, en particulier dans le contexte des polymères en environnement aléatoire. (Travail en collaboration avec Niccolò Torri.)
Mercredi 27 mars 2019, 14h-16h
Gaël Raoul (CMAP) - Distances de Wasserstein et modèle infinitésimal
Résumé de G. Raoul: Les distances de Wasserstein sont très adaptés à l'étude du modèle infinitésimal, modèle introduit par Fisher en 1918 pour décrire l'effet de reproductions sexuées. Ces reproductions sexuées sont souvent combinées à d'autres effets : sélection, structure spatiale, etc. Nous discuterons de l'utilisation des estimations de type Wasserstein pour étudier ces modèles où d'autres effets cohabitent avec le modèle infinitésimal.
Mercredi 13 février 2019, 14h-17h
Hanène Mohammed (Univ. Paris-Nanterre) - Distribution stationnaire pour des systèmes de vélos partagés avec stations à capacité finie.
Christelle Roveta (LIX) - Simulation parfaite de réseaux fermés de files d’attente
Résumé de H. Mohammed: Bike-sharing systems are becoming important for urban transportation. In such systems, users arrive at a station, take a bike and use it for a while, then return it to another station of their choice. Each station has a finite capacity: it cannot host more bikes than its capacity. I will first present a stochastic model of an homogeneous bike-sharing system and study the effect of users random choices on the number of problematic stations, i.e., stations that, at a given time, have no bikes available or no available spots for bikes to be returned to. A mean-field approximation approach enables us to obtain the asymptotic behavior of this model as the system size becomes large. This asymptotic dynamics leads to simple expressions that give qualitative and quantitative results. [1]. This method works even if a closed-form (product-form) expression is not available for the original model. I will present different variants (heterogeneous model [2], supermarket model [3], concept of neighborhood [4]...)
References
[1] Incentives and redistribution in homogeneous bike-sharing systems with stations of finite capacity. C Fricker, N Gast: Euro journal on transportation and logistics 5 (3). 2016
[2] Mean field analysis for inhomogeneous bike sharing systems. C Fricker, N Gast, H Mohamed: Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science. 2012
[3] Analysis of a Bloom Filter algorithm via the supermarket model. Yousra Chabchoub, Christine Fricker, Hanene Mohamed: International Teletraffic Congress 2009.
[4] Stationary Distribution Analysis of a Queueing Model with Local Choice. PS Dester, C Fricker, H Mohamed: LIPIcs-Leibniz International Proceedings in Informatics. 2018
Résumé de C. Roveta: En 1996, Propp et Wilson ont proposé un algorithme permettant l'échantillonnage sans biais de la distribution stationnaire d'une chaîne de Markov ergodique. Ce dernier appelé aussi algorithme de simulation parfaite, requiert la simulation en parallèle de tous les états possibles de la chaîne. Un des challenges lorsque l'on veut faire de l'échantillonnage par simulation parfaite réside généralement à mettre en place des stratégies permettant de ne pas avoir à simuler toutes les trajectoires.
Un réseau fermé de files d'attente est un réseau dans lequel les clients ne peuvent ni entrer ni quitter le réseau. La dynamique de tels réseaux est couramment représentée par une chaîne de Markov ergodique. La difficulté pour qui voudrait appliquer l'algorithme de Propp et Wilson à de tels réseaux, réside dans la taille de l'espace des états qui est exponentielle en le nombre de files à laquelle s'ajoute une contrainte globale à savoir le nombre constant de clients.
Dans cet exposé, je présenterai une stratégie inspirée de l'interprétation abstraite qui permet la mise en œuvre de l'algorithme de Propp et Wilson pour des réseaux fermés de files d'attente.
Jeudi 17 janvier 2019, 10h-13h, SALLE DE CONFERENCES DU CPHT (Bât. 6 - attention PAS la salle de l'aile 0)
Christian Léonard (Univ. Paris-Nanterre) - Dynamique des interpolations entropiques. Application aux flots de gradient dans l'espace des probabilités
Résumé: Les interpolations entropiques sont les solutions du problème de Schrödinger qui consiste à minimiser une entropie relative dans l'ensemble des mesures de chemin sous des contraintes de mesures marginales (initiale et finale) fixées. Ce problème, posé par Schrödinger en 1932, apparait à la fois comme une extension stochastique du principe de moindre action de Hamilton et comme une version stochastique naturelle du problème de transport optimal de Monge-Kantorovich posé par Kantorovich en 1942.
Dans un premier temps nous poursuivrons l'analogie avec le principe de Hamilton en présentant quelques propriétés cinématiques et dynamiques des interpolations entropiques. Dans un second temps, guidés par l'analogie avec la théorie du transport optimal quadratique, nous évoquerons quelques applications aux systèmes dissipatifs vus comme flots de gradient dans l'espace des probabilités. La ligne directrice de cette approche est donnée par les principes de grandes déviations élémentaires satisfaits par des systèmes de particules en interaction de champ moyen.
Jeudi 6 décembre 2018, 14h-17h en SALLE de CONFERENCE du CMLS (bâtiment 6)
Igor Kortchemski (CMAP) - Arbres de Cauchy-Bienaymé-Galton-Watson
Tony Lelièvre (ENPC) - De l'équation de Langevin à un processus markovien de saut: distribution quasi-stationnaire et lois d'Eyring-Kramers
Résumé d'I. Kortchemski: Nous nous intéresserons à la structure de grands arbres aléatoires de Bienaymé-Galton-Watson, où la loi de reproduction est critique et appartient au domaine d'attraction d'une loi de Cauchy. Nous identifierons un phénomène dit de condensation, où un unique sommet de degré macroscopique émerge. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Loïc Richier.
Résumé de T. Lelièvre: L'objectif de cet exposé est de présenter une approche rigoureuse pour comparer deux modèles utilisés en physique statistique pour décrire l'évolution d'un système macroscopique à température donnée: (i) l'équation de Langevin suramortie et (ii) les modèles "kinetic Monte Carlo" ou "Makov State Model" paramétrés en utilisant des taux de transitions définis par les lois d'Eyring-Kramers. Les résultats reposent de manière fondamentale sur la notion de distribution quasi stationnaire, ainsi que sur des développements rigoureux de type WKB pour analyser l'évènement de sortie d'un état métastable dans la limite d'une petite température. Au-delà de l'intérêt théorique, de nombreux algorithmes utilisent les liens entre ces deux types de modèle pour simuler de manière efficace des dynamiques de Langevin métastables sur des temps très longs. Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec G. Di Gesu, D. Le Peutrec et B. Nectoux.
G. Di Gesù, T. Lelièvre, D. Le Peutrec et B. Nectoux, Jump Markov models and transition state theory: the Quasi-Stationary Distribution approach, Faraday Discussion, 195, 469-495, (2016).
G. Di Gesù, T. Lelièvre, D. Le Peutrec et B. Nectoux, Sharp asymptotics of the first exit point density, https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01548737 .
Mercredi 7 novembre 2018, 10h-13h
Thibaut Mastrolia (CMAP) - Régulation économique de l’exploitation d’une ressource naturelle
Benoît Henry (IMT Lille-Douai) - Processus de contour à sauts pour l'étude d'arbres inhomogènes en temps
Résumé de T. Mastrolia: Dans cette étude, nous modélisons une situation dans laquelle l’exploitant d’une ressource naturelle, tirant des bénéfices financiers de son activité, est soumis à une politique de régulation de cette ressource. Nous étudions le jeux établi entre l’exploitant et le régulateur en calculant la politique de taxation optimale mise en place pour minimiser d'éventuels coûts engendrés par une surexploitation de la ressource.
Travail en collaboration avec Idris Kharroubi (Paris 6) et Thomas Lim (ENSIIE).
Résumé de B. Henry: Dans cet exposé nous introduirons un modèle de branchement inhomogène en temps dans lequel les individus vivent et se reproduisent de manière i.i.d. mais dont la loi des durées de vies et le taux de branchements dépendent du temps. L'arbre décrivant l'évolution de cette population peut être étudié à l'aide d'un processus de contour à saut introduit par A. Lambert dans le cadre des splitting trees. Nous montrerons que, dans notre contexte, ce processus admet de bonne propriétés permettant l'étude de la population sous-jacente. Par exemple, nous exhiberons des critères d'extinction/non-extinction. Cet outil nous permettra également d'étudier des limites d'échelles pour ce type d'arbres aléatoires.
(2017-18)
Mercredi 20 décembre 2017, 14h-17h
Sarah Kaakai (CMAP) - Quelques problèmes liés à l’augmentation de l’hétérogénéité au sein des populations humaines : un exemple de modélisation trajectorielle et phénomènes d’agrégation.
Julien Claisse (CMAP) - Sur les liens en problèmes de contrôle stochastique et mesures quasi-stationnaires.
Résumé de S. Kaakai: Ces dernières années ont été marquées par un besoin de renouvellement des modèles démographiques traditionnels, suite à l'observation de nouvelles tendances en contradiction avec certaines idées établies. En effet, alors que la mortalité aux âges élevés continue diminuer à une vitesse sans précédent, un nombre croissant d'études rapportent un accroissement alarmant des écarts de mortalité et de santé au cours des dernières décennies.
Ce changement de paradigme, vers un monde de plus en plus hétérogène, complexifie significativement l’interprétation des données et pose de nombreux problèmes méthodologiques que les modèles traditionnels « macro » ne peuvent résoudre. Il apparaît donc nécessaire de revisiter un certain nombre de modèles à une échelle plus fine, afin de prendre en compte la complexité induite par l'hétérogénéité de la population et d'analyser ses effets au niveau agrégé.
Dans cette présentation, nous reviendrons d'abord sur quelques problématiques générées par cette augmentation de l'hétérogénéité. Je présenterai ensuite un modèle stochastique de dynamique population hétérogène modélisant les changements de composition au sein de la population. Lorsque l’échelle de temps de ces changements est supposée rapide par rapport à l'échelle de temps démographique, on montrera comment la dynamique agrégée peut-être approchée par une dynamique non-linéaire différente des modèles classiques, résultant d'une agrégation non triviale de taux de mortalité hétérogènes.
Résumé de J. Claisse: Dans ce travail, on considère des processus de branchement à temps continu qui sont contraints à s'éteindre presque sûrement. On étudie alors une nouvelle classe de problème de contrôle à horizon fini dont le but est de favoriser la survie, ou au contraire l'extinction, de la population. Dans un cas limite, on obtient une formulation équivalente du problème de contrôle sous la forme d'un problème d'optimisation dépendant des mesures quasi-stationnaires et des taux d'extinction des processus contrôlés. La démonstration de ce résultat repose, en particulier, sur la dérivation de l’équation de la programmation dynamique satisfaite par la fonction valeur du problème de contrôle et sur la convergence de la loi des processus contrôlés conditionnellement à la non-extinction vers une unique mesure quasi-stationnaire.
Mercredi 17 janvier 2018, 14h-17h
Michele Salvi (CMAP) - The Einstein Relation for the Variable-Range Hopping model.
Clément Foucart (LAGA, Univ. Paris 13) - Processus de branchement avec compétition en temps et en espace continu: Dualité et réflexion à l'infini.
Résumé de M. Salvi: The Mott Variable-Range Hopping model is considered in Physics as an accurate representation of electrical conduction in semiconductors. From the mathematical point of view, it represents a prominent example of reversible long-range random walks on random point processes, which generalize in several ways the classical random conductance model on the lattice. We ask ourselves how an external field influences the limiting velocity of the walk: So far, only very few models of biased random walks with trapping mechanisms have been rigorously studied. An accurate control of the invariant measure for the process from the point of view of the particle will remarkably allow us to go a step further and prove the Einstein Relation - the equivalence of mobility and diffusivity of the walk.
Résumé de C. Foucart: Nous nous intéressons au comportement aux frontières des processus de branchement logistiques. Grosso-modo, la dynamique du processus est celle d'un processus de branchement (en temps et espace continus) avec un terme de mort quadratique supplémentaire (A taux c>0, deux individus se battent et un seul en sort vivant). Je parlerai des questions suivantes: Est-il possible qu'un processus de branchement avec compétition explose (c'est-à-dire atteigne l'infini en un temps fini)? Lorsqu'il n'explose pas, peut-il être défini partant de l'infini (l'infini est alors un point d'entrée)? Et lorsqu'il explose? L'étude est basée sur une relation de dualité (dualité "au sens des systèmes de particules") entre les processus de branchement avec compétition et des diffusions de Feller généralisées.
Mercredi 21 février 2018, 14h-17h
Nicolas Champagnat (INRIA Nancy-Grand Est) - Une approche par grandes déviations pour les limites d'échelles d'EDP de la dynamique adaptative
Mathieu Rosenbaum (CMAP) - Théorèmes limites pour des processus de population quasi-instables et applications
Résumé de N. Champagnat: This is joint work with Benoît Henry (IECL, Université de Lorraine). We consider partial differential equations modeling adaptive evolution of a quantitative trait in a population in which mutations are due to a Laplace operator and selection is due to the competition for finitely many resources described by integrals of the population density. A small population and large time scaling of this equations gives rise to a Hamilton-Jacobi limit equation with constraints, first described by Diekmann, Jabin, Mischler, Perthame (2005). We use a probabilistic interpretation of the solution of the PDE as the expectation of a functional of Brownian paths, and large deviations estimates to provide a variational characterization of the limit Hamilton-Jacobi problem. This variational problem can be obtained under more general conditions than those known for the Hamilton-Jacobi limit to hold. In addition, the method can be applied to a large range of mutation operators. We detail the case of finite trait spaces with exponentially small rates of mutations, where uniqueness properties for the limit variational problem can be obtained in some particular cases.
Mercredi 14 mars 2018, 14h-17h
Pierre Montagnon (CMAP et INRA) - Un modèle SIR stochastique sur un graphe de populations
Justin Salez (Univ. Paris Diderot) - Temps de mélange et phénomène de cutoff pour la marche aléatoire sur des grands graphes aléatoires
Résumé de P. Montagnon: On étudie un modèle de propagation d'épidémies sur un graphe orienté dont les sommets représentent des populations. Les dynamiques démographiques (naissances, mouvements et morts) sont décrites par un processus de branchement multitype à temps continu avec immigration. L'épidémie peut se propager au sein de chaque noeud, et les mouvements individuels assurent sa propagation à l'échelle du graphe. On développe une méthode de calcul de la probabilité d'explosion de l'épidémie que l'on illustrera numériquement sur un exemple d'épidémie bovine. Enfin, on estimera la taille totale de l'épidémie dans le cas endémique stable.
Résumé de J. Salez: Le cutoff est une transition de phase remarquable dans la convergence de certaines chaînes de Markov vers leur loi stationnaire : la distance à l’équilibre passe brutalement de 1 à 0 lorsque le nombre d’itérations approche une valeur critique appelée temps de mélange. Découvert dans le contexte du mélange de cartes (Aldous-Diaconis, 1986), ce phénomène est désormais rigoureusement établi pour de nombreuses chaînes réversibles. Dans cet exposé, nous considèrerons le cadre non-réversible des marches aléatoires sur des grands graphes dirigés aléatoires, pour lesquels la loi stationnaire elle-même est loin d’être comprise.
Mercredi 11 avril 2018, 14h-17h
Aurélia Deshayes (LPSM, Paris) - Front du modèle FA-1f en dimension 1
Hélène Guérin (IRMAR, Rennes) - Comportement en temps long du processus Zig-Zig et applications
Résumé d'A. Deshayes: Le modèle de Fredrickson-Andersen one spin facilitated est un modèle cinétiquement contraint: chaque site met à jour la valeur de son spin si une certaine contrainte locale est satisfaite, ici c’est le fait d’avoir au moins un 0 dans ses voisins. Les modèles cinétiquement contraints ont la particularité d’être non attractifs ce qui rend leur étude complexe, notamment pour étudier les résultats de forme. Les méthodes classiques de sous-additivité ne s’appliquent pas. Dans un travail en collaboration avec Oriane Blondel et Cristina Toninelli nous montrons que le front du modèle FA en 1d, i.e. le 0 le plus à gauche lorsqu’on part d’une configuration initiale avec que des 1 à gauche de l’origine et un 0 en l’origine, a bien une vitesse linéaire, et des fluctuations gaussiennes, et ce pour un paramètre q de densités de 0 supérieur à un certain seuil.
Résumé d'H. Guérin: De nombreux travaux ont été publiés dernièrement sur le processus Zig-Zag, qui peut-être vu comme une généralisation du processus du télégraphe. Ce processus stochastique est un processus de Markov déterministe par morceaux, notamment utilisé pour modéliser le comportement d’une bactérie dans son environnement (chimiotaxie). Je vais présenter différents travaux récents sur le comportement en temps long de ce processus et les techniques utilisées. En plus, de modéliser un phénomène biologique, ce processus peut aussi être utilisé pour construire des méthodes MCMC pour le calcul approché d'intégrales.
Du 2 au 4 mai 2018 : Deuxième rencontre Paris-Berlin "Stochastic Analysis with Applications in Biology and Finance" (co-organisée par le CMAP)
Mercredi 6 juin 2018, 14h-17h
Sébastien Martineau (LMO) - Monotonie stricte du paramètre critique de percolation vis-à-vis de l’opération de quotient
Loïc de Raphélis (ENS Lyon) - Maximum global d'une marche aléatoire branchante & temps local maximal de la marche aléatoire sur un arbre de Galton-Watson en milieu aléatoire
Résumé de S. Martineau: La percolation est un modèle de propagation en milieu poreux qui a été introduit en 1957 par Broadbent et Hammersley. Un graphe G modélise la géométrie de la situation et un paramètre p rend compte de la porosité du milieu : la percolation consiste à indépendamment conserver chaque arête avec probabilité p, effacer les autres, et s'intéresser aux composantes connexes du graphe ainsi formé. Il y a alors une porosité critique : pour des porosités moindres, toutes les composantes sont finies presque sûrement, tandis que pour les porosités supérieures il y a au moins une composante infinie presque sûrement. Comment cette porosité dépend-elle du graphe considéré ? C'est une vaste question, qui s'avère liée à celle de déterminer le comportement précisément au point critique. On l'abordera ici sous l'angle suivant : on montrera que, sous des conditions raisonnables, quotienter un graphe augmente strictement la valeur de la porosité critique. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Franco Severo.
Résumé de L. de Raphélis: Nous considérons un arbre de Galton-Watson surcritique conditionné à survivre, dont les arrêtes sont pondérées par des variables aléatoires i.i.d. (formant ainsi un environnement aléatoire). Nous nous intéressons à la marche aléatoire aux plus proches voisins sur cet arbre, dont les probabilités de transition dépendent des poids des arrêtes, et considérerons le cas où la loi de l'environnement est tel que la marche aléatoire est récurrente nulle.
L'objet de cet exposé sera de décrire le comportement des points favoris de la marche aléatoire, c'est-à-dire les sommets de l'arbre que la marche aléatoire a le plus visité au cours du temps. Plus précisément, nous montrerons que le temps local maximum de la marche aléatoire lors d'une excursion depuis la racine satisfait une équation en loi, et que ceci nous permet d'établir que ce maximum présente une queue de distribution de type Cauchy. En particulier, nous verrons que ce résultat est à mettre en parallèle avec le maximum de potentiel de l'environnement (qui est une marche aléatoire branchante), qui présente une queue de distribution à variation régulière.
Cet exposé s'appuiera sur un travail réalisé en collaboration avec Xinxin Chen (Université Lyon 1).
Mercredi 4 juillet 2018, 14h-17h
François Golse (CMLS) - Dynamique quantique à N corps: limite de champ moyen et régime semiclassique
Sergio Simonella (E.n.s. Lyon) - Size of chaos in mean field dynamics