Archives du séminaire du pôle analyse

Mai 2023

Vendredi 05 mai

14h00 Philippe Moireau (Inria Saclay - LMS) - Théorie des observateurs en assimilation de données. Des ondes à la mécanique cardiaque.

Résumé : Dans cet exposé, je présenterai un panorama d’un travail collectif sur la théorie des observateurs comme stratégie d’estimation de problème d’évolution. Sur des problèmes de type "équation des ondes”, nous montrons comment cette approche permet d’utiliser des données mesurées de toutes sortes afin de reconstruire la trajectoire observée et d’estimer la condition initiale ou des paramètres. Nous en faisons l’analyse en combinant conditions d’observabilité et techniques de régularisation de problèmes inverses pour des données bruitées. Les questions de discrétisation et l’analyse numérique seront aussi évoquées ainsi que les questions d’échantillonnage des données. Enfin, nous illustrons l’application de cette approche dans différents cas pratiques, de l'équation des ondes à l’élastodynamique, jusqu’à des applications en modélisation/estimation cardiaque qui ont initialement motivé notre approche.

Mardi 09 mai

11h30 Michael Gfrerer (TU Graz) - A unified approach to shape and topological sensitivity analysis of discretized optimal design problems

Abstract : We introduce a unified sensitivity concept for shape and topological perturbations and perform the sensitivity analysis for a discretized PDE-constrained design optimization problem in two space dimensions. We assume that the design is represented by a piecewise linear and globally continuous level set function on a fixed finite element mesh and relate perturbations of the level set function to perturbations of the shape or topology of the corresponding design. We illustrate the sensitivity analysis for a problem that is constrained by a reaction-diffusion equation and draw connections between our discrete sensitivities and the well-established continuous concepts of shape and topological derivatives. Finally, we verify our sensitivities and illustrate their application in a level-set-based design optimization algorithm where no distinction between shape and topological updates has to be made.

Avril 2023

Mardi 04 avril

11h30 Raphaèle Herbin (Aix-Marseille Université - I2M) - Maillages décalés et théorème de Lax-Wendroff

Résumé : La notion de consistance au sens de Lax-Wendroff (LW-consistance) est importante pour les applications pratiques en simulation d'écoulement de fluides. Dans de nombreux cas d'intérêt, des résultats plus forts de convergence sont hors de portée, et la LW-consistance permet d'aider à la conception mathématique des schémas numériques. C'est par exemple le cas pour les écoulements multidimensionnels gouvernés par des systèmes hyperboliques, tels que les équations d'eau peu profonde, les équations d'Euler ou les modèles pour les écoulements multiphasiques.

Les maillages décalés sont utilisés dans les codes de sûreté nucléaire développés par l'IRSN depuis plus de 15 ans pour la simulation numérique de problèmes d'écoulement de type hyperbolique, et sont maintenant couramment utilisés pour des applications de sécurité industrielle telles que les problèmes d'explosion d'hydrogène, pour des écoulements non visqueux ou au moins de viscosité négligeable.

Nous montrons ici comment les hypothèses de Lax et Wendroff peuvent être généralisés à des maillages décalés pour obtenir un résultat de LW consistance.

Mars 2023

Vendredi 24 mars

11h00 Victorita Dolean (Université Côte d'Azur - LJAD) - Méthodes de résolution rapide pour les problèmes de propagation d'ondes : des solveurs de décomposition de domaine classiques à l'apprentissage

Résumé : Les problèmes de propagation d'ondes sont d'une importance capitale dans de nombreuses applications scientifiques et techniques - par exemple, en imagerie sismique et médicale et plus généralement en acoustique et électromagnétisme. Les simulations à grande échelle de ces applications sont l'un des problèmes les plus difficiles du point de vue algorithmique car elles nécessitent une interaction entre les méthodes de discrétisation parcimonieuses mais suffisamment précises et les méthodes de résolution plus sophistiquées. Notre objectif est de montrer d'une part, comment les méthodes classiques de décomposition de domaine développées ces dernières années couplées à des discrétisations soigneusement choisies peuvent aider dans cette entreprise. Des aspects théoriques, numériques et applicatifs vont être abordés, en soulignant les limitations de la théorie et les classes des problèmes qu’on peut traiter avec les outils actuels. D'autre part, nous voudrions proposer quelques ouvertures vers le package très attractif approximation-solution-optimisation offert par les nouvelles méthodes d'apprentissage automatique scientifique.

Les différents volets de l’exposé sont le résultat des collaborations avec : M. Bonazzoli, N. Bootland, I. Graham, F. Hecht, A. Heinlein, P. Jolivet, C. Ma, S. Mishra, B. Moseley, F. Nataf, S. Operto, F. Rapetti, R. Scheichl, E. Spence, P.-H. Tournier et ont bénéficié des financements ANR, EPSRC et du consortium WIND (Waveform Inversion for Node Data).

Mardi 21 mars

11h30 Jimmy Lamboley (Sorbonne Université - IMJ PRG) - Contrainte de convexité en optimisation de forme et applications à la stabilité

Résumé : Dans cet exposé, on regarde des problèmes de calcul de variation et d’optimisation de forme sous contrainte de convexité. Ces problèmes sont encore très incompris, comme le montre le célèbre problème de résistance minimale de Newton.
On présentera une théorie de régularité sous contrainte de convexité, qui s’applique notamment à des problèmes de type isopérimétriques. On montrera comment ces résultats permettent de montrer des inégalités quantitatives dans la classe des corps convexes. Ce travail est une collaboration avec Raphaël Prunier.

Mardi 14 mars

11h30 Anaïs Crestetto (Université de Nantes - LMJL) - Schémas numériques pour l'équation de Vlasov collisionnelle en régime de rayon de Larmor fini

Résumé : Ce travail porte sur la construction de schémas numériques multi-échelles pour l'équation de Vlasov collisionnelle en régime de rayon de Larmor fini. Le système considéré a été étudié dans l'article de Bostan et Finot (2019) et met en jeu deux régimes : fortement oscillatoire et dissipatif, dont les limites ne commutent pas. Dans notre travail, nous nous intéressons à une approche numérique basée sur la méthode Particle-In-Cell et différents intégrateurs en temps. Les schémas construits vérifient de bonnes propriétés asymptotiques, qui sont illustrées numériquement. Ce travail a été effectué en collaboration avec Nicolas Crouseilles et Damien Prel.

Février 2023

Mardi 21 février

11h30 Martin Vohralík (Inria Paris) - A posteriori error estimates robust with respect to the strength of nonlinearities

Résumé : A posteriori estimates enable to certify the error committed in a numerical approximation of a partial differential equation. In particular, for linear model problems, the equilibrated flux reconstruction technique yields a computable guaranteed upper bound on the unknown error which is robust. Here robust means that the overestimation factor (effectivity index) is uniformly bounded in all situations: for all problem data, domain size and shape, regular or singular exact solution, as well as for all combinations of the two basic discretization parameters – the number of mesh elements (mesh size h) and the polynomial degree p.

This talk addresses nonlinear problems, where standard approaches do not give estimates robust with respect to the strength of the nonlinearities (the overestimation factor increases when the problem is more and more nonlinear). We present two methodologies that give robustness for nonlinear Lipschitz-continuous and strongly monotone elliptic problems. Our estimates include, and build on, common iterative linearization schemes such as Zarantonello, Picard, Newton, or M- and L-ones. We either estimate the energy difference that we augment by the discretization error of the current linearization step, or we design iteration-dependent norms that feature weights given by the current linearization iterate. Numerical experiments illustrate the theoretical findings, with the overestimation factors close to the optimal value of one for any strength of the nonlinearities.

Janvier 2023

Mardi 24 janvier

11h30 Pauline Lafitte (CentraleSupélec) - Estimations uniformes pour une discrétisation naïve de l’équation de la chaleur avec condition aux limites de Neumann

Résumé : La discrétisation la plus simple de la condition de Neumann au bord d’un segment pour l’équation de la chaleur instationnaire ou stationnaire n’est pas consistante. Cependant, des tests numériques tendent à montrer qu’un schéma d’Euler explicite pour l’équation instationnaire converge.
Dans ce travail mené avec Guillaume Dujardin, on montre la convergence uniforme en temps à l'ordre 1/2 pour ce schéma, sous une condition classique de stabilité. Cet ordre de convergence fractionnaire est par ailleurs également celui obtenu numériquement.

Vendredi 20 janvier (séance exceptionnelle)

10h00 Guglielmo Scovazzi (Duke University) - The Shifted Boundary / Shifted Fracture Method for Computational Mechanics

Résumé : Embedded/immersed/unfitted boundary methods obviate the need for continual re-meshing in many applications involving rapid prototyping and design. Unfortunately, many finite element embedded boundary methods (cutFEM, Finite Cell Method, etc. ) are also difficult to implement due to: (a) the need to perform complex cell cutting operations at boundaries, (b) the necessity of specialized quadrature formulas, and (c) the consequences that these operations may have on the overall conditioning/stability of the ensuing algebraic problems.

We present a new, stable, and simple embedded boundary method, named “Shifted Boundary Method” (SBM), which eliminates the need to perform cell cutting. Boundary conditions are imposed on a surrogate discrete boundary, lying on the interior of the true boundary interface. We then construct appropriate field extension operators by way of Taylor expansions, with the purpose of preserving accuracy when imposing the boundary conditions. We demonstrate the SBM in applications involving solid and fracture mechanics; thermomechanics; CFD and porous media flow problems.

In the specific case of fracture mechanics, the SBM takes the name of Shifted Fracture Method (SFM), which can be thought of a method with the data structure of classical cohesive fracture FEM but with the accuracy and mesh-independence properties of XFEM. We show how the SFM has superior accuracy in capturing the energy released during the fracture process and how the method can be combined with phase-field approaches to simulate crack branching and merging.

Mardi 10 janvier

11h30 Cinzia Soresina (University of Graz) - Cross-diffusion systems in population dynamics: derivation, bifurcations and patter formation

Résumé : In population dynamics, cross-diffusion describes the influence of one species on the diffusion of another. The cross-diffusion SKT model was proposed to account for stable inhomogeneous steady states exhibiting spatial segregation of two competing species. Even though the reaction part does not present the activator-inhibitor structure, the cross-diffusion terms are the key ingredient for the appearance of spatial patterns. We provide a deeper understanding of the conditions required for non-homogeneous steady states to exist, focusing on multistability regions and on the presence of time-periodic spatial patterns, by combining a detailed linearised and weakly non-linear analysis with advanced numerical bifurcation methods via the continuation software pde2path [1,2].

Even though the particular form of cross-diffusion terms in the SKT model may seem artificial, they naturally incorporates processes occurring at different time scales. It can be easily seen, at least at a formal level, that cross-diffusion appears in the fast-reaction limit of a "microscopic" model (in terms of time scales) presenting only standard diffusion and fast-reaction terms. The same approach can also be exploited in other contexts, e.g. predator-prey interactions, plant ecology and epidemiology.

[1] M. Breden, C. Kuehn, C. Soresina, On the influence of cross-diffusion in pattern formation, Journal of Computational Dynamics, 8(2):21, 2021.

[2] C. Soresina, Hopf bifurcations in the full SKT model and where to find them, Discrete and Continuous Dynamical Systems - S, 15(9):2673-2693, 2022.

Décembre 2022

Mardi 06 décembre

11h Quentin Mérigot (Université Paris-Saclay) - Convergence d'algorithmes pour le problème de quantification optimale uniforme

Résumé : En apprentissage automatique et en problèmes inverses, il est parfois nécessaire de générer ou de déformer un nuage de points de sorte à approcher une mesure de probabilité modèle $\rho$. Une manière naturelle d'y parvenir est de chercher à minimiser la distance de Wasserstein de la mesure uniforme sur le nuage de points par rapport à la distribution modèle :

$$ \min_{y_1,\dots,y_N\in\mathbb{R}^N} F(y_1,\dots,y_N) := \mathrm{W_2}\left(\frac{1}{N}\sum_{1\leq i\leq N}\delta_{y_i},\rho\right).$$

Ce problème de minimisation, dans lequel les inconnues sont les positions des atomes, n'est pas convexe et il admet des points critiques dont l'énergie est beaucoup plus grande que celle du minimiseur. Pourtant, très souvent, les méthodes de descente de gradient mènent à des configurations présentant une énergie faible. Nous expliquons quantitativement ce comportement, en montrant en particulier que si les points initiaux ne sont pas trop proches les uns des autres, alors une seule étape de l'algorithme de Lloyd est suffisante pour obtenir une bonne approximation de la mesure approchée (collaboration avec Filippo Santambrogio et Clément Sarrazin). Je parlerai également d'un résultat plus récent, qualitatif, montrant en dimension $d=2$ que l'énergie de quantification des points critiques stables de l'énergie est en réalité commensurable à l'énergie du minimiseur (collaboration avec Alessio Figalli et Filippo Santambrogio).

Novembre 2022

Mardi 22 novembre

10h T. J. Sullivan (University of Warwick and Alan Turing Institute) - An order-theoretic perspective on modes and MAP estimation

Résumé : It is often the case in statistics, machine learning, inverse problems, and the analysis of random dynamical systems that one wishes to summarise a complicated probability measure on a space $X$ in terms of a mode, or MAP estimator, i.e. a point of maximum probability. In modern applications, the space $X$ is often a function or metric space, and so one cannot reason in terms of Lebesgue densities. Fortunately, modes can be rigorously defined using masses of metric balls in the small-radius limit. However, the theory is not entirely straightforward: the literature contains many notions of mode and various examples of pathological measures that have no mode in any known sense. Since the masses of balls induce natural orderings on the points of $X$, we will try to shed light on some of the problems in non-parametric MAP estimation by taking an order-theoretic perspective, which appears to be a new one in the inverse problems community. This point of view opens up attractive proof strategies based upon the Cantor and Kuratowski intersection theorems; it also reveals that many of the pathologies arise from the distinction between greatest and maximal elements of an order, and from the existence of incomparable elements of $X$, which we show can be dense in $X$, even for an absolutely continuous measure on $X = \mathbb{R}$.

Joint work with Hefin Lambley (Warwick).

11h15 François Alouges (ENS Paris-Saclay) - Opérateur Dirichlet-Neumann, normes $H^{1/2}$, applications au préconditionnement

Résumé : Lors de la résolution numérique de problèmes aux limites, l’opérateur de Dirichlet-Neumann (DtN) intervient dans de nombreuses méthodes. On peut citer les méthodes de décomposition de domaine, les conditions absorbantes, ou bien le préconditionnement d’équations intégrales. Sur des géométries lisses, une méthode populaire consiste à écrire l’opérateur DtN comme la racine carrée d’un opérateur différentiel de type “Laplace Beltrami”, et éventuellement des termes de courbures locaux. La généralisation de telles formules au contexte de variétés singulières (à bords) comme des polygones en 2D ou des écrans en 3D est un domaine actif de recherche. On présentera une nouvelle approche dans laquelle un rôle central est donné à un opérateur de type Laplacien à poids. Des applications au préconditionnement d’équations intégrales, en 2D et 3D, seront aussi montrées.

Ce travail est une collaboration avec Martin Averseng.

Mardi 08 novembre

11h Idriss Mazari (CEREMADE) - Optimisation de formes & contrôle optimal: contrôle bilinéaire versus contrôle linéaire

Résumé :

Le contrôle optimal d’équations elliptiques ou paraboliques est un sujet classique et important de la théorie des équations aux dérivées partielles. Dans cet exposé, je présenterai quelques résultats sur une question qualitative qui apparaît dans de nombreuses applications, notamment en biologie: supposons que l’on se donne un opérateur, elliptique ou parabolique, noté L, une non-linéarité f=f(t,x,u), abrégée en f(u), et un couplage $\phi$(y,u)$ entre le contrôle y et l’état u. L’équation d’état est donnée par

L u= f(u)+$\phi$(y,u).

On se donne une fonctionnelle de coût de la forme

J(y)= $\int j(u) $

où l’intégrale est en espace, ou en espace et en temps, et où j peut également dépendre de x et t. La classe de contrôles admissibles est donnée par

$Y := \{0\leq y \leq 1, \ \int_\Omega y = V_0 \}$c’est-à-dire par une contrainte $L^\infty$ et une contrainte $L^1$. Enfin, le problème de contrôle optimal est

$\max_{y\in Y}J(y).$

Une question naturelle est alors de savoir si les contrôle d’optimaux $y^*$ sont bang-bang, c’est-à-dire s’ils valent 0 ou 1 presque sûrement, ou si, au contraire, ils peuvent comporter des zones “anormales”, où ils prennent des valeurs entre (0;1). D’un point de vue théorique aussi bien que numérique, cette question a son importance. Je parlerai de deux classes de résultats:

1) D’abord, pour les contrôles bilinéaires, c’est-à-dire avec $\phi$(y,u)=yu, je présenterai des travaux en collaboration avec G. Nadin et Y. Privat, qui indiquent que, si la fonctionnelle J est croissante ($y \leq y'$ implique $J(y) \leq J(y')$), alors la propriété bang-bang est satisfaite, indépendamment des propriétés de concavité ou convexité de la non-linéarité f. Ces résultats constituent un analogue “contrôle” du théorème de Buttazzo-DalMaso.

2) Ensuite, pour les contrôles linéaires, c’est-à-dire avec $\phi$(y,u)=y, je présenterai des résultats obtenus avec G. Nadin et A. Toledo-Marrero qui montrent que la concavité de la non-linéarité f devient critique. J’expliquerai comment des développements multi-échelles nous permettent alors d’obtenir des informations plus fines sur le comportement des optimiseurs sur la zone anormale.

Octobre 2022

Mardi 18 octobre

11h Maxime Herda (Inria Lille) - Analysis of a numerical scheme for a nonlocal cross-diffusion system

Résumé : In this talk, I will consider a nonlocal version of the Shigesada-Kawazaki-Teramoto (SKT) cross-diffusion system. Despite the nonlocality, this system has interesting entropy dissipation properties, which allow us to design a robust and convergent numerical scheme for its numerical simulation. From the numerical analysis point of view, I will present discrete compactness techniques, entropy-dissipation estimates and a new adaptation of the so-called duality estimates for parabolic equations in Laplacian form. I will also present numerical experiments illustrating the influence of the nonlocality in the system: on convergence properties, as an approximation of the local system and on the development of diffusive instabilities. This is a joint work with Antoine Zurek (UTC).